人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列_经典例题及配套练习题含答案解析.docx
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1、第四章 数列4.1 数列的概念14.2 等差数列134.3 等比数列314.4 数学归纳法54第四章 复习参考题674.1 数列的概念例1 根据下列数列an的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象(1)an=n2+n2;(2)an=cos(n-1)2解:(1)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列an的前5项依次为1,3,6,10,15图象如图4.1-2(1)所示(1) (2) 图4.1-2(2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列an的前5项依次为1,0,-1,0,1图象如图4.1-2(2)所示例2 根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:(1)1,-12,13,-
2、14,; (2)2,0,2,0,解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1n(2)这个数列前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1 练习1写出下列数列的前10项,并作出它们的图象:(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列;(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;(3)当自变量x依次取1,2,3,时,函数fx=2x+1的值构成的数列;(4)数列的通项公式为an=2,n为奇数n+1,n为偶数【分析】(1)根据题意,直接写出前10项后,作图即可;(2)根据题意,直
3、接写出前10项后,作图即可;(3)根据题意,直接写出前10项后,作图即可;(4)根据题意,直接写出前10项后,作图即可;(1)根据题意,可知数列的前10项为:4,16,36,64,100,144,196,256,324,400.图象如下:.(2)根据题意,可知数列的前10项为:1,12,13,14,15,16,17,18,19,110.图象如下:.(3)根据题意,可知数列的前10项为:3,5,7,9,11,13,15,17,19,21.图象如下:.(4)根据题意,可知数列的前10项为:2,3,2,5,2,7,2,9,2,11.图象如下:.2根据数列an的通项公式填表:n125nan153273
4、3(3+4n)【分析】根据an=3(3+4n)依次求出表中对应的值即可.【详解】当n=1时,an=3(3+41)=21;当n=2时,an=3(3+42)=33;当n=5时,an=3(3+45)=69;当an=153时,3(3+4n)=153,解得n=12;当an=273时,3(3+4n)=273,解得n=22;所以列表如下:n1251222nan 2133691532733(3+4n)3除数函数(divisorfunction)y=dn(nN*)的函数值等于n的正因数的个数,例如d1=1,d4=3.写出数列d1,d2,dn,的前10项.【答案】1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.【分析】根
5、据定义直接写出即可.【详解】由题意可得d1=1,因为2=12,所以d2=2,因为3=13,所以d3=2,因为4=14=22,所以d4=3,因为5=15,所以d5=2,因为6=16=23,所以d6=4,因为7=17,所以d7=2,因为8=18=24,所以d8=4,因为9=19=33,所以d9=3,因为10=110=25,所以d10=4,所以前10项分别为1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.故答案为:1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.4根据下列数列的前5项,写出数列的一个通项公式:(1)1,13,15,17,19,;(2)1,22,12,24,14,.【答案】(1)an=12n-1,(2
6、)an=(22)n-1,【分析】(1)找到规律后写出通项公式即可;(2)找到规律后写出通项公式即可.【详解】(1)121-1=1,122-1=13,123-1=15,124-1=17,125-1=19,所以an=12n-1;(2)由题意,22=122,12=2222,24=1222,14=2422所以an=(22)n-1.例3 如果数列an的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项?如果是,是第几项?分析:要判断120是不是数列an中的项,就是要回答是否存在正整数n,使得n2+2n=120也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解:解:令n2+2n=120,解这个关于n的方程,得
7、n=-12(舍去),或n=10所以,120是数列an的项,是第10项例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形在图中4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式(1) (2) (3) (4) 图4.1-3在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中,着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1因此,这个数列的一个通项公式是an=3n-1例5 已知数列an的首项为a1=1,递推公式为an=1+1an-1(n2),写出这个数列的前5项解:由题意可知a1=1,a2=1+1a1=1+11=2,a3=1+1
8、a2=1+12=32,a4=1+1a3=1+23=53,a5=1+1a4=1+35=85练习5根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数(1)(2)(3)【答案】(1)第5项图形见解析,通项公式为an=5n-4,第5项的点数为a5=21(2)第5项图形见解析,通项公式为bn=3n-2,第5项的点数为b5=13(3)第5项图形见解析,通项公式为cn=nn+2,第5项的点数为c5=35【分析】(1)根据图形中点数的规律可作出第5项的图形,并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式;(2)根据图形中点数的规律可作出第5项的图形,并根据各项的
9、点数可归纳出数列的通项公式;(3)根据图形中点数的规律可作出第5项的图形,并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.(1)解:设第n项的点数为annN*,a1=1,a2=1+5,a3=1+25,a4=1+35,该数列的第5项为a5=1+45=21,数列an的一个通项公式为an=1+5n-1=5n-4,第5项的图形如下图所示:(2)解:设第n项的点数为bnnN*,b1=1,b2=1+3,b3=1+23,b4=1+33,该数列的第5项为b5=1+43=13,数列bn的一个通项公式为bn=1+3n-1=3n-2,第5项的图形如下图所示:(3)解:设第n项的点数为cnnN*,c1=13,c2=24,c3
10、=35,c4=46,该数列的第5项为c5=57=35,数列cn的一个通项公式为cn=nn+2,第5项的图形如下图所示:6根据下列条件,写出数列an的前5项:(1)a1=1,an=an-1+2n-1(n2);(2)a1=3,an=23an-1+1(n2).【答案】(1)1,3,7,15,31;(2)3,3,3,3,3.【分析】根据递推公式直接写出即可.【详解】(1)因为a1=1,an=an-1+2n-1(n2),所以a2=a1+21=1+2=3,a3=a2+22=3+4=7,a4=a3+23=7+8=15,a5=a4+24=15+16=31,故数列的前5项分别为1,3,7,15,31.(2)因为
11、a1=3,an=23an-1+1(n2)所以a2=23a1+1=233+1=3,a3=23a2+1=233+1=3,a4=23a3+1=233+1=3,a5=23a4+1=233+1=3,故数列的前5项分别为3,3,3,3,3.7已知数列an满足a1=2,an=2-1an-1(n2),写出它的前5项,并猜想它的通项公式.【答案】a1=2,a2=32,a3=43,a4=54 a5=65,an=n+1n.【分析】将n=2、3、4、5代入an=2-1an-1(n2)即可得出答案.【详解】a1=2,a2=2-1a1=2-12=32,a3=2-1a2=2-23=43,a4=2-1a3=2-34=54 a
12、5=2-1a4=2-45=65.猜想an=n+1n.8已知数列an的前n项和公式为Sn=-2n2,求an的通项公式.【答案】an=-4n+2nZ*【分析】本题可根据an=Sn-Sn-1得出结果.【详解】当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n2+2n-12=-4n+2;当n=1时,a1=S1=-2,满足an=-4n+2,故an的通项公式为an=-4n+2nZ*.习题419写出下列数列的前10项,并绘出它们的图像:(1)素数按从小到大的顺序排列成的数列;(2)欧拉函数n(nN)的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.【答案】(1)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,图见解析;(
13、2)1、1、2、2、4、2、6、4、6、4,图见解析.【分析】(1)本题可依次列出素数,然后绘图即可;(2)本题可依次列出欧拉函数n的函数值,然后绘图即可.【详解】(1)素数从小到大依次是:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,绘出图像如图所示:(2)1=1,2=1,3=2,4=2,5=4,6=2,7=6,8=4,9=6,10=4,依次为1、1、2、2、4、2、6、4、6、4,绘出图像如图所示:10根据下列条件,写出数列an的前5项:(1)an=1n2;(2)an=-1n+1(n2+1);(3)a1=12,an=4an-1+1(n2);(4)a1=-14,an=1-1an-1(n
14、2).【分析】(1)利用通项公式分别取n1,2,3,4,5,即可得出(2)利用通项公式分别取n1,2,3,4,5,即可得出(3)分别取n2,3,4,5,即可得出(4)分别取n2,3,4,5,即可得出【详解】(1)由an=1n2可得a11,a2=14,a3=19,a4=116,a5=125(2)由an(1)n+1(n2+1)可得:a12,a25,a310,a417,a526(3)a1=12,an4an1+1(n2);n2时,a2=4a1+1=3;n3时,a3=4a2+1=13;n4时,a4=4a3+1=53;n5时,a5=4a4+1=213;(4)a1=-14,an1-1an-1(n2)n2时,
15、a21-1a1=5;n3时,a31-1a2=45;n4时,a41-1a3=-14;n5时,a51-1a4=511观察下列数列的特点,用适当的数填空,并写出数列的一个通项公式:(1)(),4,9,(),25,(),49;(2)1,132,(),172,192,(),1132;(3)1,2,(),2,5,(),7;(4)12,16,(),120,130,().【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系,根据数之间的关系即可得出结果.【详解】(1)中依次填写1、16、36,通项公式为an=n2;(2)中依次填写152、1112,通项公式为an=1(2n-1)2;(3)中依次填写3、6,通项公式为
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