幂级数求和问题的几种转化.doc

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1、幂级数求和问题的几种转化数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 【摘要】本文通过具体例子，介绍了幂级数求和的若干种转化和方法，例如其中的代数方程法， 、微分方程法等同时对幂级数求和的化归途径进行了分析和实践，探讨了利用化归思想求幂级数和函数的几种方法【关键词】幂级数；和函数；微分；化归思想The power series summation of several transformationMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer ScienceAbstract This article

2、 through a concrete example, introduces the power series summation of several kinds of transformation and methods, such as one of the algebraic equation method, and differential equation method, etc. Meanwhile to the power series summation of change to approach is analyzed and practiced, this paper

3、has discussed the use of be thought for the power series and the function of several methods.Key words power series; And functions; Differential;Change be thought1.引言幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决也可以利用幂级数的有关性质求解本文把幂级数求和和化

4、归思想联系在一起，介绍了化归思想在幂级数求和中的应用2.预备知识2.1 幂级数定义1 由幂级数列所产生的函数项级数， （1）它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它可以看做是多项式函数的延伸，幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用他表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识把（1）中的换成就得到了 （2）2.2 幂级数的收敛区间和收敛半径首先讨论幂级数（2）的收敛性问题显然任意一个幂级数（2）在处总是收敛的我们有以下定理若幂级数（2）在收敛，则对满足不等式的任何，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；幂级数（2）在时发散，则对满足不等式的任何，幂级数（2）发散以下给出证明证：

5、设级数收敛，从而数列收敛于零且有界，即存在某正数，使得 （n=0,1,2，）另一方面对任意一个满足不等式的，设，则有由于级数收敛，故幂级数（2）当时绝对收敛现在证明定理的第二部分设幂级数（2）在时发散，如果存在某一个，它满足不等式，且使级数收敛则由定理第一部分知道，幂级数（2）应在时绝对收敛，这与假设相矛盾，所以对一切满足不等式的，幂级数（2）都发散则可以知道幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径事实上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界所以当时，幂级数（2）仅在处收敛；当时，幂级数（2）在上收敛；当时，幂级数（2）在内收敛；

6、对一切满足不等式的，幂级数（2）都发散；至于，（2）可能收敛也可能发散我们称为幂级数（2）的收敛区间2.3 化归思想化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法作为数学的一种基本思想，化归思想解题的过程实际上就是转化的过程它无处不在，比如将未知向已知转化、复杂问题向简单问题转化、命题间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、高次向低次的转化、多元向少元的转化、无限向有限的转化等都是化归思想的体现我们在将级数求和问题化归为微分方程求解问题时，对级数的逐项求导是我们实现化归的方法，

7、化归的关键就在于如何正确的实现转化43.幂级数求和的几种转化和方法3.1 裂项组合法在求幂级数的和函数时，对已知级数的通项拆项组合，使其为若干个已知和函数的幂级数的代数和，从而得到所求幂级数的和函数例1 求的和函数解：易知该级数的收敛区域为 当时， 当时， 因为 ， 于是， 故 （ 则，则为另外一个）3.2 逐项求导与逐项求积分法在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分形成一个己知或易求和函数的级数，然后求和，最后再反过来求一次积分或微分，便可得到原级数的和函数例2 求的和函数解：易知该级数的收敛区域为， 设，则 ， ， ， 所以，且；当时，例3 求的和函数解：易知此级数收敛域为，

8、在任意区间上可逐项积分 故3.3 有限递推法通过函数构造一个有限阶函数列，并且这个有限阶函数列的和函数可求，这样我们可以通过逐级递推法求得函数式例4 求的和函数解：易知该级数的收敛区域为 当时， 当时， 令，其中，则 令，其中，则 令，其中，则 所以， 逆推回去即可得到解3.4 代数方程法建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而使幂级数和函数问题转化为代数方程问题，并最终实现幂级数和函数问题的求解这里将给予重点介绍例52 计算的收敛域与和函数解法1：易知收敛域令，则 解法2：收敛域为则 这两种解法本质上是利用逐项求导或积分等分析性质将给定的幂级数化为几何级数的形式，借助几何级数的和函

9、数得到给定幂级数的和函数基于这种想法，还可这样求解：解法3：收敛域为则 事实上，由该幂级数系数的特点，不用分析性质也能得到结果：解法4：收敛域为令 ，则 ，于是 ，即 （1） 因此，关于幂级数求和函数，往往是基于一些常用级数和函数，借助四则运算、变量代换、逐项求导或逐项求积等手段，通过一般项的转化来实现解法4实质上是通过建立和函数的代数方程（1），将幂级数求和函数问题转化为简单代数方程的求解事实上，这种方法对于某些幂级数是普遍适用的命题1 若幂级数收敛域为，且 ，则该幂级数和函数可以转化为代数方法求解，且其和函数为证明：对任意，令，则于是 ，因此，前面代数方程法的例1就是命题1给出的这种幂级数

10、例6 在内求幂级数的和函数分析 由于，该幂级数不是命题1给出的类型，这里继续用建立代数方程的想法解：令，则于是由于，而级数正是例1所给级数，也即适用代数方程方法的类型于是因此，由解答过程看出，例2也可用代数方程的方法解决受此例启发形如的幂级数也适用代数方程方法求解和函数，并得到类似于命题l的和函数的一般表示形式进一步，能得到更一般结论：记 ，对形如的幂级数，若其收敛域为，则它的和函数可用代数方程方法计算得到例7 求的和函数解：易知该级数的收敛域为（这儿的收敛域与之前的例题不一样，但仍然可以用代数方程的方法求） ，于是，则 其中3.5 微分方程法按照通常求幂级数和函数的思路对一些幂级数并不能奏效

11、在某些情况下可以引入求幂级数和函数的微分方程方法其主要思路是通过建立和函数的微分方程将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解3以下重点介绍计算幂级数和函数， 往往是在一些常用级数和函数已知结果的基础上， 借助四则运算、 变量代换、逐项求积或逐项求导等手段，将待求和函数的幂级数的一般项化为常用级数的一般项来实现的而常用级数一般指：，然而，在有些情况下，按照这种思路往往不能得到所求和函数例如：例8 求幂级数的和函数分析 显然，采用常规的手段不能将该级数的一般项转化为常用级数的一般项解：易得收敛域令 ，则 ，从而 ，这是一阶线性微分方程，其通解为，据得于是例9 求幂级数的和函数解：易知该幂级数

12、的收敛域为，记和函数为，逐项求导得到 ，且解此微分方程得 上面两个实例揭示了一种计算幂级数和函数的思路即在使用传统的四则运算、变量代换、逐项求导或逐项求积等手段不能奏效的情况下，不妨考虑寻找幂级数的和函数满足的微分方程，结合幂级数本身确定初始条件，这样就将求幂级数和函数的问题转化为微分方程初值问题例10（1） 验证函数 满足微分方程；（2） 利用（1）的结果求幂级数的和函数分析 这个题实际就是求幂级数的和函数问题因为已经事先告知幂级数的和函数满足的微分方程，只须进行验证便可解：（1）首先，容易验证收敛区间为其次，在收敛区间上可对幂级数逐项求导这里对级数进行逐项求导两次，求导后得到的新级数收敛区

13、间不变，于是：，因而 （2）因和函数满足方程，且，故只要求解此初值问题就得到级数的和函数通过计算知：，例11 求的和函数解：先将其转化为求初值问题：，然后求解可得，例12 求的和函数解：转化为求初值问题：，所以，通过上述讨论和几个例子看出，在某些情况下构造微分方程这种方法是相当有效的3.6 化归思想在幂级数求和中的应用我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把问题化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这是数学思维中的一个重要方法即化归思维法化归思

14、维法包含三个基本的要素，即化归的对象、目标和方法化归的对象，就是我们在原来的问题中需要转化的成分；化归的目标，就是我们在化归过程中希望能够达到的目的；而化归的方法，就是我们进行化归的措施、手段和技巧5例如，我们在将级数求和问题化归为微分方程求解问题时，对级数的逐项求导是我们实现化归的方法很明显，化归的关键就在于如何有效地实现正确的转化例13：求级数的和函数思考和分析，求级数的和函数一般来说可以用部分和极限及幂级数的运算性质得到，但是此幂级数用通常的求和函数的方法不能实现，能否用化归的方法，将求和函数的问题转化为另一类形式来解决呢? 由于幂函数的导数仍然是幂函数，所以此级数在收敛区间内逐项求导后

15、与原级数属同类型的级数，有望找出它们之间的关系，实现化归的目的，为此先求级数的收敛区间， 故当时级数收敛，当时级数发散时，级数是收敛的，由此可令：，其中 （）由幂级数性质，逐项求导可得：，显然 再找出未知函数及其导数间的关系式于是问题转化为求微分方程满足初始条件，的解解方程得：又由和函数满足，代入上式得， 即，而为的和函数，故，（）例14 求级数的和函数思考和分析 容易证明此级数的收敛域为，与上例相比主要的差别是的幂，为此分两种情况研究：1. 设，令，则级数化为当时，级数收敛与一个的函数，记作，故满足微分方程初始条件为， 解之，即2.设，令，则级数化为当时，级数收敛于一个的函数，记作 故满足微

16、分方程及初始条件， 解之，即以上问题的转化可以说是同级别的转化，有时为了达到目的，我们常常将低级别的问题转化为高级别的问题来解决，这也是人们常说的“以退为进”辨证思维，下面的例子就是化实数问题为复数问题，从而得到事半功倍的效果例15 求级数的和思考和分析 显然，直接求和是十分困难的，如果我们注意到与复数的关系，就可以联想到结论： （） 于是令，（，），则得比较等式两边的实部和虚部，得 由迪里克雷判别法知和都收敛，此即以上两式左边的级数都收敛，由阿贝尔定理知，（）从上面的例子可以看到，我们化归的方向始终是从复杂到简单，从陌生到熟悉，从困难到容易但是对于所谓的“繁”和“简”，“难”和“易”等不能单

17、从形式上看，而必须具体问题具体分析，一切从具体问题的实际出发，如在例l3和14中我们把原来的级数转化为一个微分方程，尽管形式上繁了些，但原来的问题则变得更具体、更明确了又如例15，我们把实数问题化归为复数问题，其实是将原问题视为“部分”，通过转化为“整体”问题从更大范围谋求问题的解决4.结束语幂级数的和函数的转化有很多，求和的方法也很多，关键是我们如何选择合适的方法从而达到解决问题的目的，本文通过介绍幂级数求和的几种转化和方法，并将其与化归思想联系在一起，对求幂级数和函数的相关问题起到了一定的帮助参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001，44-58.2 同济大学应用数学系编.高等数学学习附册一学习辅导与习题选解(配第六版教材)M.北京:高等教育出版社,2007,317.3 解烈军.求幂级数和函数的微分方程方法J.高等数学研究,2009,12(3):41-434 凌瑞璧.浅谈数学分析中的化归思想J.广西教育学院学报.1995,(1):32-405 赵小云,叶立军.数学化归思维论M.北京:北京科学出版社，2005