基于广义辅助方程解非线性动力系统.doc

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1、天津职业技术师范大学Tianjin University of Technology and Education毕 业 论 文专 业： 数学与应用数学 班级学号： 0702 19 学生姓名： 全文丽 指导教师： 赵小山 副教授 二一一年六月天津职业技术师范大学本科生毕业论文基于广义辅助方程解非线性动力系统A generalized subsidiary equation method for nonlinear equations 专业班级：数学0702班学生姓名：全文丽指导教师：赵小山 副教授学 院：理学院2011年 6月摘 要基于辅助方程法的思想，引进新的拟设法，使之满足大部分的辅助方程，

2、根据拟设得到一系列解的形式。然后，根据具体的方程，首先根据方程最高阶偏导数项和最高阶非线性项算出平衡参数，然后根据方程的维数确定解的形式带入辅助方程与原方程，将得到的超定方程组系数化零，整理简化，最后得到最终的解。（1+1）维KDV波速方程与（2+1）维摄动KDV方程是文中为了说明方法的有效性而举出的例子，KDV方程在实际中的应用也十分广泛，所以我们的方法能够帮助更好的解决实际问题。利用Maple及软件包，将（1+1）维KDV波速方程与（2+1）维摄动KDV方程分别求解出来，得到了许多更加精确的解，有独特解，尖端解，及周期解等多种形式。辅助方程法是一种相当完善的，很精确的解非线性偏微分方程的算

3、法。关键词：非线性超定方程；广义辅助方程；平衡参数；拟设法ABSTRACT Auxiliary equation method based on the idea, the introduction of the new proposed law, so as to meet most of the auxiliary equation, according to the form proposed by a range of solutions, and then, depending on the equation, the first based on the highest order

4、 partial derivative equation and the most high-end items calculated parameters of the nonlinear term equilibrium, then the dimension of equations to determine the form of solution, into the auxiliary equation with the original equation, the resulting overdetermined set of coefficients of zero order

5、simplification, and finally get the final solution. (1 +1)-dimensional KDV velocity equations and (2 +1)-dimensional perturbed KDV equation is the text to illustrate the effectiveness of the method and give examples, KDV equation in the practical application is very broad, so our method can help to

6、better solve practical problems. Using Maple and the package will be (1 +1)-dimensional KDV velocity equations and (2 +1)-dimensional perturbed KDV equations were solved out, get a lot more accurate solution, a unique solution, cutting-edge solutions and periodic solutions, etc. forms. Auxiliary equ

7、ation method is a very complete, more accurate algorithms for solving nonlinear partial differential equations.朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典Key Words： Overdetermined linear equation; generalized auxiliary equation; balance parameters; the proposed method目 录1 引 言12 广义辅助方程展开法32.1 给出偏微分方程系统32.2 引进新的拟似法32.2确定均衡参数52.

8、3系数化零得到超定方程组52.4求解参数52.5确定辅助方程参数53 在(1+1)维KDV波速方程中的精确解84 在(1+2)维摄动KDV方程中的精确解12结 论18致 谢2222天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文1 引 言求解非线性偏微分方程一直是数学家和物理学家关注的焦点。近些年来，也研究出很多高效的方法来解决这一问题，一方面，许多德国的科学家从各个方面，如物理，化学和生物科学等各个方面汲取特点来丰富完善他们的方案。另一方面，由于Maple和Mathematica及Matlab等各种计算机系统，使我们能够在计算机完成一些复杂，繁琐的代数运算和差的运算的同时，还能找到非线性偏微分方

9、程的精确解。到现在为止，存在着许多高效的方法来解决有关非线性问题NEEs，如反散射方法1，Backlund变换2，达布变换3，Hirota双线性方法4，相似递减法5，变量分离法6，Painlev分析方法7，齐次平衡法8，各种的双曲正切函数法9-16，双曲正割函数方法17等。其中，双曲正切函数法在众多的解决方案之中被认为是获得精确的NEEs的最直接和有效的代数算法。我们知道，当应用的双曲正切函数方法，建立适当的辅助方程是非常重要的。现在主要的工作就是解决辅助方程的多种解决方案上。在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物型方程或方程组描述的。如热传导以及其他扩散现象、化学反应、某些生物形态、各种粒

10、子的输运等等。因此，用 有限差分方法数值求解抛物型偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值。在数值求解偏微分方程的领域中，有限差分法是一类重要的数值方法。有限差分法具有一些突出的优点，如：格式构造简单，网点上差分方程的局限性；在与其他方法同样精度的条件下，计算量小；对于各类微分方程特别是描述非定常物理现象的方程更加灵活适用。所以有限差分法一直受到人们的关注。非线性微分方程除了极小部分有解析解外，其余都没有解析解。每一个具体问题似乎都要求发明特殊的算法，运用新颖的技巧。因而非线性问题曾被人们认为是个性极强，无从逾越的难题。所以在早期的研究中，人们总是用适合于线性微分方程描述的“理想化模型”来处

11、理真实复杂的物理世界。尽管这种描述是不完全的，但这种方法常常能起到抓本质的作用，因而线性理论在科学发展史上是至关重要的，它正确解释了自然界的许多现象。然而世界本质上是非线性的。早在伽里略牛顿时代，从有“精确”的自然科学开始，就遗留下许多非线性问题。例如19世纪经典力学中的两大难题：刚体的定点转动和三体作用问题，实质上就是非线性问题。只不过它们始终处于“支流”的地。随着现代科学、技术，特别是计算机技术的飞速发展，从20世纪60年代开始，非线性问题逐步成为一门新兴学科而茁起。在自然科学和工程技术领域，几乎都有各自的非线性问题。例如物理学中有非线性力学，非线性声学，非线性光学，非线性电路等。孤立子、

12、混沌和分形是当今非线性科学研究的热点，也是取得取得丰硕成果，发展得很快的研究领域。尽管如此，他们仍处在发展之中，其理论和方法远没有完善。非线性数学模型在自然科学、社会科学领域中的应用越来越广泛，如机械、化工、电机、能源、土木、光学、通讯、生物、自动控制、材料等。计算机代数方法在发达的今天已经显出种种弊端，传统的求解非线性波方程的方法主要有逆散射法，Backlund 法，Darboux 变换法，Hirota 双线性法，Painlev 展开法等。近年来，涌现出一系列新的求解方法，如齐次平衡法，双曲正切函数展开法，ADM方法，利用分支理论直接积分的方法，-方法 等。本文利用张慧群等人提出的改进的计算

13、机代数方法辅助方程法，分别对RLW方程、PHI-four 方程、JaulentMiodek方程进行求解。孤立子、混沌和分形是当今非线性科学研究的热点，也是取得取得丰硕成果，发展得很快的研究领域。尽管如此，他们仍处在发展之中，其理论和方法远没有完善。对于现在的大量求解非线性方程的孤立波解的方法，辅助方程法被认为是一种最直接有效的算法。这个方法的发现是为解出精确解的一些困难融合在一起的结果。现在，大量研究工作已经把注意力集中在双曲正切方法的矿展与实施上。这篇论文的目的是把这方法的计算过程简单化，然后找到更多的行波解。张慧群提到利用辅助方程方法在算法上是有一些困难，但是却简化了偏微分方程。因此，我们

14、可以利用软件Mathematica编程求解高阶的非线性方程。最近Baldwin,Goktas,Hereman提到一个新的算法去计算非线性方程的多项式解，这个非线性方程多项Jacobi elliptic方程。在求非线性方程的一系列行波解的时候，我们研究的新的代数方法确实超过现存的双曲正切方法和Jacobi函数方法。2 广义辅助方程展开法2.1 给出偏微分方程系统给出了一个在个不同变量情况下的具有物理场的多项式的非线性偏微辅助方程的系统, （2-1）2.2 引进新的拟似法我们介绍一种新的拟似法合理阐述为如下形式: （2-2）其中是 的合理规范函数且，并满足 （2-3） 其中是任意常数，满足：1=;

15、2 是任意函数。3 满足各种辅助方程，如Riccati方程，投影Riccati方程，椭圆方程，贝塞尔方程，Klein-Gordon方程等等。意思是取决于的的导数是的有理正式函数。例如，（1）当我们取 （2-4）其中，和是取决于个不同的变量或是之后将被决定的常数。（2）当我们取= （2-5）其中是取决于个不同的变量或是之后将被决定的常数。（3）当我们取 （2-6） 其中是取决于个不同的变量或是之后将被决定的常数。（4）当我们取 （2-7） 其中是取决于个不同的变量或是之后将被决定的常数。（5）当我们取（2-8） 其中是取决于个不同的变量或是之后将被决定的常数。2.2 确定均衡参数 合理正式多项式

16、解法的参数分别由在给出的方程中最高非线性项和最高阶偏导数项确定的，然后给予正式的解决方案。2.3 系数化零得到超定方程组 利用第六步中选择的满足辅助方程的将（2-2）转化为（2-1）。然后设定所产生的系统的所有分子的 的系数是零就得到非线性代数方程组超定系统，这是取决于及函数的参数的.2.4 求解参数 通过使用符号计算系统Maple求解非线性代数方程组的超定系统，我们最终得到 的明确表达式和的参数。2.5 确定辅助方程参数 选择辅助方程的参数。根据系统（2-2），在步骤5的结论和所选择的辅助方程的一些特殊的解决方案中，我们可以得到系统（2-1）的有理正式精确解。 注1. 据我们所学知识，通过以

17、上分析，多数双曲正切函数解法可以总结为广义辅助方程合理拓展法，更多的，解得的这种方法包括双曲线函数和三角函数的矩阵形式，同时还不同于解法【15】。注2. 式（2.2）可以化成下列形式： (2-9）其中，和是取决于个不同的变量或是之后将被决定的常数。注3 我们可以指出式 (2-10)而且在式（2-4）中不仅可以取正整数，还可以取负整数。注4 满足辅助方程，如椭圆方程，Riccati方程，投影Riccati方程，贝塞尔方程等等。他们不仅满足相同的辅助方程，而且满足不同的辅助方程。我们的吸引力和方法的成功在于一个事实，即我们选择不同的辅助方程。因为每个辅助方程具有特殊形式的解决方法，一些解决方法的结

18、合可以建立各种正式的complexiton解决方案。特别是，我们不采取以前的行波变换，而采用在做不同行波变换，因此这些方法有不同的波速。我们的方法是一个统一简单纯理论的代数算法，可积方程和不可积方程可以实现在计算机代数系统，并且可以很容易地扩展到其他可积系统和不可积系统中。3 在(1+1)维KDV波速方程中的精确解这一部分我么要利用我们的方法来摂动KDV方程 （3-1）其中且0的所有常数。在（3-1）中平衡高阶偏导数项和最高非线性项，得到=1，我们假设所以（3-1）具有精确解： （3-2）其中和之后将被决定的常数。为了得到理想的complexiton解，我们选择著名的辅助方程中的Riccati

19、方程（1）。 （3-3） 其中是任意常数。利用Maple，将（3-2）以及（3-3）代入（3.1），然后我们让新变量满足（3-3）。并设置这些组合（i，j=0,1，）的系数是零，然后建立关于超定代数方程组由王东明的Maple软包“字符集”，这是基于吴氏消元法，解决了超定代数方程组的使用，我们得到以下情况：情况1， （3-4）其中是任意常数。情况2 （3-5）其中是任意常数。情况3 （2-6）其中是任意常数。注解.既然这里有这么多解法，我们可以列出新的类型，类似在(1+1) 维波速KDV方程的情况1的解法，来说明该方法的效率。情况1. 和是任意常数，且根据附录中的（3-2）和（3-3）的特殊解法

20、及（3-4），我们能获得以下(1+1)维波速KDV方程的complexiton解。情况1当R0且=1，=-（+1），=，=0，我们得到： （3-6）情况2当R0且=1-，=2-1，=-，=0，我们得到： （3-7）情况3当R0且=-1，=2-，=-1，=0，我们得到： （3-8）情况4当R0且=，=-（+1），=1，=0，我们得到： （3-9）情况5当R0且=-，=2-1，=1-，=0，我们得到： （3-10）4 在(1+2)维摄动KDV方程中的精确解这一部分我么要利用我们的方法来摂动KDV方程 （4-1） 其中且0的所有常数。在（3-1）中平衡高阶偏导数项和最高非线性项，得到=2，我们假设所

21、以（3-1）具有以下精确解： （4-2）其中之后将被决定的常数。为了得到理想的complexiton解，我们选择著名的辅助方程中的Riccati方程（1）和椭圆一般方程（2）。 （4-3） (4-4) 其中和是任意常数。然后我们让新变量和分别满足（3-3）和（3-4）。利用Maple，将（3-2）以及（3-3）和（3-4）代入（3-1）。然后设置这些组合的系数是零，然后建立关于和超定代数方程组： 由王东明的Maple软包“字符集”，这是基于吴氏消元法，解决了超定代数方程组的使用，我们得到以下情况：情况1 (4-5)情况2 (4-6)情况3 (4-7)情况4 (4-8)情况5 (4-9)情况6

22、(4-10)注解.既然这里有这么多解法，我们可以列出新的类型，类似在2 维摂动KDV方程的情况1的解法，来说明该方法的效率。情况1. 和是任意常数，且根据附录中的（3-2）和（3-3）的特殊解法及（3-4），我们能获得以下(1+2)维摂动KDV方程的complexiton解。情况1当R0且=1，=-（+1），=，=0，我们得到： （4-11）情况2当R0且=1-，=2-1，=-，=0，我们得到： （4-12）情况3当R0且=-1，=2-，=-1，=0，我们得到： （4-13）情况4当R0且=，=-（+1），=1，=0，我们得到： （4-14）情况5当R0且=-，=2-1，=1-，=0，我们得到

23、： （4-15）情况6当R0且= -1，=2-，=1-，=0，我们得到： （4-16）情况7当R0且=1，=-（+1），=1-，=0，我们得到： （4-17）情况8当R0且=1，=2-1，=（-1），=0，我们得到： （4-18）情况9当R0且=，=，=，=0，我们得到： （4-19）情况10当R0且=，=，=，=0，我们得到:（4-20） 结 论总体上说，新的基于广义辅助方程方法（GSRE）是目前发现的新的精确的非线性演化方程的Complexiton解。(1+1)KDV波速方程和（2 +1）维摄动KDV方程是被选择来说明这种方法，例如发现了一些包括complexiton解的新奇的类型。当然，

24、以上提出的算法也可以应用于其他非线性数理衍化方程。在本论文里，我们自然地呈现了一种更加普遍的拟似法。因此，对于一些非线性方程，更希望得到更多类型的complexiton解。表 1 著名Riccati方程（3.3）的一般解法 （3-3）的解法R0 R0 R0 R0 R0 表 2 一般椭圆方程（3.4）的一般解法（3.4）的解0000000000000000000000000010-（+1）0 1-02-10-102-0-102-01-02-101-102-01-1-02-01102-01-102-10（-1）（-1）02-1010000000000000000000参考文献1 谷超豪. 孤立子理

25、论及其应用 J. 杭州:浙江科技出版社, 1990.2 MATVEEV V B, SALLEM A. Daroux transformations and solitons J . Berlin: Springer, 1991.3 HIROTA R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation formultip le collisions of solitons J. Phys Rev lett, 1971, 27: 1192- 1194.4 楼森岳. 推广的Painlev展开及KdV方程的非标准截断解 J. 物理学报, 1998, 47

26、: 1739 - 1745.5 WANG M L, ZHOU Y B, LI Z B. App lication of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics J. Phys Lett A, 1996, 213: 67 - 75. 6 李志斌, 张善卿. 非线性波方程准确孤立波解的符号计算 J. 数学物理学报, 1997, 17 (1) : 8189.7 SALAN M, KAYA D. An application of the ADM to se

27、ven - order Sawada-Kotara equations J. Applied Mathematics and Computation, 2004, 157: 93 - 101.8 LI JI BIN, ZHANG LI JUN. Bifurcations of traveling wave solution in generalized Pochhammer-Chree equation J. Chaos, Soitons and Fractals, 2002, 14: 581 - 593.9 FAN E G. Travelling wave solutions in term

28、s of special functions for nonlinear coupled evolution systemsJ. Physics Letters A, Volume 300, Issues 2-3, 29 July 2002, Pages 243-24910 刘胜利, 张晔, 许世菊等. 四阶抛物方程的一个有限差分并行格式J. 吉林大学学报(理学版), 2005, 43(6):725-730.11 KelloggR.B. An alternating direction method for operator equationsJ. SIAM, 1964, 12(4) : 84

29、8-854.12 郭阁阳，刘播. 四阶抛物方程一类新的交替隐格式算法J.吉林大学学报（理学版），2008,(2).13 郭阁阳，刘播. 四阶抛物方程一类变步长本性并行格式的稳定性分析J，应用数学，2008,(3).14 Ma WX. Travelling wave solutions to a seventh order generalized KdV equationJ. Phys Lett A 1993;180:221.15 Ma WX. Complexiton solutions to the Kortewegde Vries equationJ. Phys Lett A 2002;30

30、1:35. 致 谢首先非常感谢我的指导老师赵小山老师的精心指导与无私帮助；从我一开始写论文起，赵老师就以渊博的学识与满腔的热情，在我所写的领域给予知识上的辅导与思路上的点拨，为我所做的工作给予总体上的框范与细节上的修正，在此，谨向赵老师表示衷心的感谢。同时，我也深深的感谢一直重视、关心着本文编写的系领导，以及全体教师，感谢他们为我提供了良好的条件，谨向各位老师表示诚挚的敬意！再次，我要感谢我的同学，正是由于他们的帮助和支持，我才能克服一个个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。 最后，由于我的水平有限，误漏、欠妥之处在所难免，论文还有待进一步完善。希望大家在阅读的过程中能给予指正，以便今后我在这一领域中写出更高质量的论文。