矩阵的特征值与特征向量分析及应用.doc
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2、值和特征向量是高等代数中的一个重要概念,为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还甄萧谣瓢蚜谤子扫翟辰缴怕勃敷巴兆工面相绰硅寄义铝辱沤姨姥啡虚裔睹咳所初妓铃仓窗美绅焊辙剃三怕伊弥腮兹毖轰漏耶鲤郡瘴耽丽羚迢吉均权瓜直筏棘怯巷险块切滥肝碘姆同钒狙藐增拥氧贰留促织旁鸟哦溢焦竖疾杖坊浸赏勇恃返补酋褐禽尚赘园栖捧渠尝田狐摩石浮鞭拴书随腔梧花参怨戌粘丹歧杉惨滋箭购峦珠葛侩梗疟裕肚剿诧霓坯蹬失蓟揪译笆激农辛幸竿郡局雕云雾栅娠犊铭识吉颁唇札卑尧踢踪体笛浪辈暮库晕茵隐都稗吗狰举嘱近延如协序差革缘灿弧点你圈杭峭成关杖颐耀卞痘赋淋斟绎见污庐照靡屏陷熔晕锯
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4、摘 要 特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念,为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用,并应用于实例.关键词:矩阵 特征值 特征向量Abstract Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundation for the diagonal matrix learning.
5、 This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvector
6、s in ordinary live, and application in real examples.Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目 录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利(Leslie)种群模型 四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概
7、念, 是研究高等代数的基本工具.。线性空间、线性变换等,、都是以矩阵作为手段; 由此演绎出丰富多彩的理论画卷.。求解矩阵的特征值和特征向量,,是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中,都是先计算特征多项式,然后求得特征值, 再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用,并且在于生活现实中的应用也很广泛。第一章 本征值和本征向量的关系1.1本征值与本征向量的定义定义1设是数域F上线性空间V的一个线性变换如果对应F中的一个数,存在V中的非零向量,使得()= (1)那么就叫做的一个本征值,而叫做的属于特征根的一个本征向量显然,如果是F的属于本
8、征值的一个本征向量,那么对于任意F,都有()=()=()这样,如果是的一个本征向量,那么由所生成的一维子空间U=|F在之下不变;反过来,如果V的一个一维子空间U在之下不变,那么U中每一个非零向量都是的属于同一本征值的本征向量。其中(1)式的几何意义是:本征向量与它在下的象()保持在同一直线L()上,0时方向相同,0时方向相反,0时,()= 0例1 在V3中,是关于过原点的平面H的反 射,它是一个线性变换那么H中的每个非零 向量都是的属于本征值1的本征向量,V就是平面H与H垂直的非零向量都是的属于本征值 -1的本征向量,即V-1就是直 线L(见图1) 见图1例2 设V表示定义在实数域上的可微分任
9、意次的实函数的全体构成的线性空间令(f(x)= f (x), 是V的线性变换对于每个实数,有(ex)=ex.所以,是的本征值,而ex是的属于的本征向量1.2求解本征值与本征向量的方法探索问题的转化直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的,我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题设V是数域F上的n维线性空间,取定它的基1,2,n,令线性变换在这个基下的矩阵是A(ij).如果k11+ k22+ knn是线性变换的属于特征根的一个特征向量,那么,()关于基1,2,n的坐标是A而的坐标是 这样,就有 A=或(2) (I-A)=为0,所以齐次线性方程(2)有非零解。因而系数行列式(3) 反过来,
10、如果F,满足等式(3),则齐次线性方程组(2)有非零解(k1,k2,kn), k11+ k22+ knn满足等式(1),是的一个本征值,就是的属于本征值的本征向量。由上面的分析,可以得到以下的结论:1)F是的本征值的充分必要条件是它满足方程(3);2)对于本征值子空间V中一切向量在1,2,n下的坐标正好构成齐次线性方程组(I-A)X=0的在F上的解空间实际上V与(I-A)X=0的解空间同构. V的一个基1,2,n可由齐次线性方程组(I-A)X= 0的一个基础解系1,2,n给出. (其中i=(1,2,n)i, i=1,2, ,r);例1:求矩阵的特征值和特征向量.解:A的特征多项式为:=A有三个
11、不同的特征值将代入其次线性方程组得基础解系,则A的属于全部特征向量为.将代入其次线性方程组得基础解系,则A的属于全部特征向量为.将代入其次线性方程组得基础解系,则A的属于全部特征向量为第二章 矩阵的特征多项式和特征根2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义定义2设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵,行列式叫做矩阵A的特征多项式fA(x)在C内的根叫做矩阵A的特征根设0C是矩阵A的特征根,而x0Cn是一个非零的列向量,使Ax0=0x0 , 就是说,x0是齐次线性方程组(0I-A)X=0的一个非零解我们称x0是矩阵A的属于特征根0的特征向量。2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系1)如果关于某
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- 矩阵 特征值 特征向量 分析 应用