大学课件_建筑结构抗震设计2.4 振型分解反应谱法.pptx
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1、第二章结构抗震基本知识2.1 计算原则2.2 地震作用2.3 设计反应谱2.4 振型分解反应谱法2.5 底部剪力法2.6 结构竖向地震作用2.7 结构抗震验算2.4 振型分解反应谱法大多数结构物都应简化为多质点体系分析。而振型分解反应谱法是弹性体系地震反应的基本方法。其基本概念:(1)假定建筑结构是线弹性多自由度体系;(2)利用振型分解,变为求解n个独立的等效单自由度弹性体系的最大地震反应,从而求得每一振型的作用效应;(3)按SRSS或CQC法则进行作用效应组合。振型分解法只需考虑前几阶振型,减小计算量。一、不考虑扭转影响时结构的地震作用和作用效应对大多数质量和刚度分布比较均匀和对转影响,可在
2、建筑物的两个主轴方向分别考虑水平地震作用进行验算。称的结构不需要考虑水平地震作用下的扭()()()()()()1.多自由度弹性体系的运动方程()图2-12多自由度弹性体系位移1 2 n M diag m m m=L,在n质点即n个自由度的弹性体系:M为质量矩阵,一般采用集中质量阵形式:K刚度矩阵,nn阶对角矩阵,如果只考虑层间剪切变形的层间剪切结构K为三对角矩阵&Mx(t)+Cx(t)+Kx(t)=MIxg(t)(2-24)(2-25)C阻尼矩阵C=M+K瑞利阻尼形式(2-26)定;I单位列向量。其中 、由1、2、1 、2 确 2多自由度弹性体系的自由振动将式(2-24)略去阻尼项和右端项,振
3、动方程:Mx(t)+Kx(t)=0&(2-27)设(2-27)式的解为:x(t)=Xsin(t+)&初相角。(2-28)x(t)=2Xsin(t+)=2x(t)(2-29)其中:(K M)X=0将式(2-28)、(2-29)代入式(2-27),得:2(2-30)为了体系振动,必须是非零解,则:XK2M=0(2-31)该方程的n个根2 21、2 Ln即是体系的n个自振频率,一般有:2则n个自振周期:T1 T2 L Tj L Tn将所求的 j 依次代回(2-30),可得到与之相对应的Xj,即为振型。=0K22 m2 X 2mK11 1 12KK22 m2K21可解出 一个两自由度体系:体系的自由振
4、动方程为:(即式(2-30)K12 X12K11 m1 2 K21(2-32)(2-33)频率方程(即式(2-31)2=022 21,2,将之带回(2-32)式K11 1 m2式(2-32)是齐次方程组,两个方程线性相关2 2第一振型:第二振型:X11X12X 21X 22值:K122 K12K11 2m1=每一振型的幅值之比都是常数,不随时间而变。(2-34a)(2-34b)X MXk3振型的正交性(1)振型关于质量矩阵的正交性:其矩阵表达式为:=0Tjj k(2-35)式(2-35)是根据功的互等定理推导而来,式中Xj ,Xk 分别为体系第 j、k 振型的振幅向量。物理意义 :某一振型在振
5、动过程中所引起的惯性力不在其它振型上作功,说明某一个振型的动能不会转移到其它振型上去,也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。X KXk =0(2)振型关于刚度矩阵的正交性其矩阵表达式为(由功的互等定理而来):Tj(j k)(2-36)2物理意义:该体系按k振型振动引起得弹性恢复力在j振型位移所作的功之和等于零,也即体系按某一振型振动时,它得位移不会转移到其它振型上去。X CXkC =X CXj(3)振型关于阻尼矩阵的正交性令:C=M+K(2-26)则有:=0Tj(j k)当j=k时,j振型的广义阻尼为:Tj j(2-37)(2-38)()()()X1 1 =0.618X
6、 1 2 =1.0X2 2 =1.0X2 1 =-1.6 18图2-13两质点弹性体系的振型(a)两质点弹性体系;(b)第一振型;(c)第二振型m K例题2-3已知某两个质点的弹性体系(如图),其结构参数为:1=m2=m,1=K2=K 。验算质量矩阵和刚度矩阵的正交性。M=K=K X=质量矩阵和刚度矩阵分别为:m00m K2K K0.618 1 1.618 1 X2第一振型和第二振型分别为:X MX2=0.618 1.000解:(1)验算振型关于质量矩阵的正交性由式(2-61)得:01.618m 1.000 m0T11.618m 1.000m X KX2=0.618 1.000(2)验算振型关
7、于刚度矩阵的正交性由式(2-68)得:K1.618K 1.000 2K KT1 4.236K 2.618K =x x xX1 11 12 13=x x xX2 21 22 234.振型分解n个自由度的弹性体系具有n个独立振型。例如:3个自由度体系。TTTXji:j振型i自由度的相对位移。(2-39)x=21x23由(2-39)形成矩阵:A=X1 X2 X3x11 x12 x13x22x31 x32 x3333(2-40)xi(t)=xji j(t)按照振型叠加原理,弹性结构体系中每一个自由度在振动过程中的位移 可以表示为:qnj=1q式中:j(t)为j振型的广义坐标,即以振型作为坐标系的位移值
8、。(2-41)xi(t)t(=1L n =整个结构体系的位移列向量、速度列向量和加速度列向量可分别表示为:X2 x 1(t)x2(t)X X M xn(t)&x(t)=Aq(t)x(t)=Aq(t)q 1q2X A qM qn(2-42a)(2-42b)(2-42c)对方程两端左乘 得:A5.计算水平地震作用的振型分解反应谱法地震作用下的运动微分方程为:&Mx(t)+Cx(t)+Kx(t)=MIxg(t)(2-24)将(2-42a)、(2-42b)、(2-42c)式代入上式并T ()()A M A q t A C A q t+&()g A K A A M I x t+=&()()j j j j
9、 j j M t C X q t+&XX X ()()j g j j j K q t M t+=&XX X IT TT Tq(t)利用正交性,对式(2-43)化简,展开后可得n个独立的二阶微分方程,对于第j振型有:T TT T(2-43)(2-44)M =XjM j*X其中:广义质量:TjTjTj则有:Tj j j j(2-45)和 的关系:KC =2 j jM K j =jM j 、*j仿照单自由度体系,M*jC*j(2-46)j j 2 其中,j 表示第j振型的阻尼的圆频率。将上式代入式(2-45),并用j振型的广义质量除等式的两端,得:T2j TX(j =1,2,L n)(2-47)j
10、j M要),表示第i振型对结构总响应贡献的大小。其中:T 表示j振型参与系数(很重X X分析式(2-45):相当于单自由度弹性体系的运动方程,区别在于:自由度弹性体系的运动方程进行解耦。此广义坐标 qj(t)作为未知量而不是x(t);方程右端项多1个 j,经过坐标变换将n0 ()x e&()t t j ()sin ()()j g j j j q t t d t =参照单自由度体系,Duhamel积分,方程(2-49)式的解为:j j j j(t)为 j 、j 单自由度弹性体系的位移。(j=1,2,L,n)(2-48)xi(t)=j j(t)X ji&x&i(t)=j&j(t)X jij=1多自
11、由度弹性体系i质点相对于基础的位移和加速度为:nnj=1jnj=1X ji =1q qX ji 为振型幅值,j(t)、&(t)分别见式(2-41)和式(2-42)。由结构力学得:(2-49a)(2-49b)(2-50)x第i自由度t时刻的水平地震作用Fi(t)=作用在i质点的惯性力:(t)=m (t)+&nj=1则j振型i自由度得水平作用Fi(t)为:&x Fji(t)=mi j j(t)X ji+jX ji&g(t)(2-52)为单自由度体系的其中:是j振型自振周期的maxFji =Fji(t)&=mi jX jixg(t)+j(t)maxmaxx&g(t)+j(t)Sa(j,j);j =S
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