《Matlab在概率统计中的应用》.doc

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1、摘 要Matlab是当今最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算与可视化功能、简单易用，特别是附带的工具箱，使得它在世界范围内很是流行，特别是在工程计算领域。近年来越来越多的国人也喜爱上了这一套软件。概率统计是信息处理、科学决策的重要理论与方法，其内容丰富，逻辑严谨，实践性强，应用广泛，是现代管理、科研和工程技术人员必备的基础知识，随着计算机的普及和Matlab软件的发展，概率统计日益走进人们的日常工作和生活。本文主要是讲Matlab在概率统计中的应用，结合概率统计概念、理论和应用，系统的介绍了概率分布、期望和方差、参数估计等问题。本文重点是应用Matlab统计工具箱介绍概率与统计的各种概

2、念、理论、方法、算法及其实现和解决参数估计问题。关键词：Matlab，概率论，数理统计，概率，方差，数学期望，参数估计 Matlab in probability and statistics application Abstract: Matlab is the most outstanding application of technology, it is a strong scientific computing and visualization features, easy to use, especially with the kit, so it was very popula

3、r worldwide, especially in the engineering calculations areas. In recent years more and more people are in love with this set of software. Probability and Statistics is information processing, an important scientific theories and methods of decision-making, and its rich content, logically coherent,

4、practical, widely used, modern management, research and engineering and technical personnel necessary basic knowledge, with the proliferation of computers and Matlab software development, the increasing probability and statistics into peoples daily work and life. This article is about Matlab applica

5、tion in probability and statistics, combined with the concept of probability and statistics, theory and application, the system introduces the probability distribution, expectation and variance, parameter estimation problems. This article focuses on is the application of Matlab statistics toolbox de

6、scribes the probabilistic and statistical concepts, theories, methods, algorithms and its implementation and to solve parameter estimation problems.Keywords: Matlab, probability theory, and mathematical statistics, probability, variance, mathematical expectation, parameter estimation目 录一、 引 言1二、 Mat

7、lab的发展史及其应用1三、 Matlab在概率统计中的应用基础1 （一）概率密度函数值1 1.离散随机变量概率密度函数值1 2.连续随机变量概率密度函数值2 （二）随机变量的分布2 1.离散型随机变量的分布2 2.连续型随机变量的分布3 （三）应用Matlab计算概率 3 1.直接利用工具箱中提供的函数计算概率3 2.自定义函数计算概率4（四）Matlab解决数学期望和方差问题5 1.应用Matlab求期望5 2.应用Matlab求方差6 （五）统计直方图10四、 应用Matlab解决参数估计问题11五、 蒙特卡洛方法12六、 结束语 14参考文献15一、 引言引言概率统计是研究随机现象统计

8、规律性的数学学科,是现代数学的一个重要分支。Matlab是MathWorks公司开发的一款以数值计算为其主要特色的数学工具软件,其所带的统计工具箱应用非常广泛。考虑到概率统计课程紧接线性代数课程之后,学生在用Matlab解决线性代数问题之后,继续学习Matlab的统计工具箱,必然会取得较好的教学效果。概率论与数理统计是研究和应用随机现象统计规律性的一门数学科学。其应用十分广泛，几乎遍及所有科学领域、工农业生产和国民经济各部门。本文将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计等问题。二、 MATLAB的发展史及其应用MATLAB是美国MathWorks公司自20世纪80年代

9、中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。到目前为止，其最高版本6.1已经推出。随着版本的不断升级，它在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。MATLAB已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、概率论与数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。本文主要探讨它在概率统计方面的一些应用。三、 Matlab在概率统计中的应用基础（一）概率密度函数值1.离散随机变量概率密度函数值无论是离散分布还是连续分布，在Matlab中，都用通用函数pdf或专用函数来求概率

10、密度函数值。而对于离散型随机变量，取值是有限个或可数个，因此，其概率密度函数值就是某个特定值的概率，即利用函数pdf求输入分布的概率。通用概率密度函数pdf计算特定值的概率命令：pdf格式为：Y = pdf (name, k, A) Y = pdf (name, k, A, B) Y = pdf (name, k, A, B, C)说明：返回以name为分布，在随机变量X = k处，参数为A、B、C的概率密度值；对离散型随机变量X，返回X = k处的概率值，name为分布函数名。常见的分布有：name = bino（二项分布），hyge（超几何分布），geo（几何分布），poiss（Poiss

11、on分布）。 专用概率密度函数计算特定值的概率 （1）二项分布的概率值命令：binopdf格式：binopdf (k,n,p)说明：等同于pdf (bino, k, n, p)。n试验总次数；p每次试验事件A发生的概率；k事件A发生k次。（2）Poisson分布的概率值命令：poisspdf格式：poisspdf (k, Lambda)说明：等同于pdf (poiss, k, Lambda)，参数Lambda = np。2.连续随机变量概率密度函数值连续型随机变量：如果存在一非负可积函数，使对于任意实数，X在区间上取值的概率为：，则函数称作随机变量X的概率密度函数。通用函数pdf和专用函数用来

12、求密度函数在某个点x处的值。利用概率密度函数值通用函数pdf计算格式：pdf (name, x, A) pdf (name, x, A, B) pdf (name, x, A, B, C)说明：返回以name为分布的随机变量在X = x处、参数为A、B、C的概率密度函数值。（二）随机变量的分布1.离散型随机变量的分布二项分布设随机变量X的分布律为： P X = k = Cnk p k (1-p) n - k k = 0, 1, 2, ,n其中：0p1，n为独立重复试验的总次数，k为n次重复试验中事件A发生的次数，p为每次试验事件A发生的概率。则称X服从二项分布，记为XB (n,p)。 Pois

13、son分布设随机变量X的分布律为： 则称X服从参数为的Poisson分布，记为XP ()。Poisson是二项分布的极限分布，当二项分布中的n较大而p又较小时，常用Poisson，= np。2.连续型随机变量的其分布均匀分布若随机变量X的概率密度为，则称X在区间a, b上服从均匀分布，记为XU (a, b)。 正态分布若随机变量X的概率密度为其中，是两个常数，则称X服从参数为，的正态分布，记为XN (,)。（三）应用MATLAB计算概率1.直接利用工具箱中提供的函数计算概率PXx或PX=x利用通用函数pdf计算概率PX=x（若X为连续性随机变量，则是计算密度函数的值f（x），利用通用函数cdf

14、计算概率PXx ）。例如：设随机变量XN（0,1），求概率PX0.4可直接在MATLAB的命令窗口输入命令:cdf(norm,0.4,0,1)即可求得。设随机变量Xb（16,0.3），概率PX5=PXx-PX=x，所以在MATLAB的命令窗口输入命令：cdf（bino，5,16,0.3）-pdf（bino，5,16,0.3）即可求得。利用专用函数计算概率PXx 或PX=x例如：设随机变量XN（0,1）,求概率PX0.4可直接在MATLAB的命令窗口输入命令：normcdf（0.4，0.1）即可求得。设随机变量Xb(16,0.3),概率P(Xp1=normcdf(5, 3, 2)一normcdf

15、(2, 3, 2) p2=1一(normcdf( 2, 3, 2)一normcdf(一2, 3, 2) p3=1一normcdf( 3, 3, 2)即可求得.2.自定义函数计算概率PXx或PX=x对于不是常用的随机变量，无法直接使用通用函数cdf或专用函数来计算，可利用工具箱中的积分函数quad, quadl加以处理.例如:设随机变量X的概率密度为 ，求概率PX0.5.因为 PX0.5=，所以可作如下处理。方法一：首先建立M文件，在M文件编辑窗口输入：function f=f(x)if abs(x)1 f=1 / (pi*sqrt(1-x2);else f=0;end并以f.m为文件名保存。然

16、后在命令窗口输入命令，即可。 p=quad(f,-0.999999,0.5)P= 0.6662（四）Matlab解决数学期望和方差问题1.应用Matlab求期望期望是随机变量的所有可能取值乘以相应的概率值之和，即 其中是对应于的概率，即权重。是常用的情况：给定一组样本值x = x1, x2, , xn 此时，期望称为样本均值。离散型随机变量X的期望计算假设离散型随机变量X的分布律为 PX=，=1,2, 如果级数绝对收敛，则称该级数的和为随机变量的数学期望。I 函数：sum %求和 格式：sum (X)说明：若X为向量，则sum (X)为X中的各元素之和，返回一个数值； 若X为矩阵，则sum (

17、X)为X中各列元素之和，返回一个行向量。II函数：mean格式：mean (X)说明：若X为向量，则mean (X)为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值； 若X为矩阵，则mean (X)为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量。例 根据客车到站情况，某旅客候车时间的分布律如下所示。 10 30 50 70 90 1/2 1/3 1/36 1/12 1/18 求他候车时间的数学期望。解 根据离散型随机变量数学期望定义，编写m文件sam8_17.m 如下 function sam8_17 x=10 30 50 70 90; p=1/2 1/3 1/36 1/12 1/18; EX=sum(x

18、.*p) 在MATLAB命令窗口键入下面的语句并回车 sam8_17 EX= 27.2222 所以他候车时间的数学期望是27.2222连续型随机变量的期望若随机变量X的概率密度为p (x)，则X的期望为： 若下式右端积分绝对收敛，则X的函数f (X)的期望为： 例 设风速V在(0, )上服从均匀分布，即具有概率密度 又设飞机翼受到的正压力是的函数：，求的数学期望。 解 根据连续型随机变量数学期望的定义，0，范围内X的数学期望为 编写m文件sam8_18.m 如下 function sam8_19 syms v k a; int(k*v*v/a,v,0,a) 在MATLAB命令窗口键入下面的语句

19、并回车 sam8_19 ans= 1/3*k*a2 所以W的数学期望为 2.应用Matlab求方差方差是随机变量的个别偏差的平方的期望： DX = E (X-EX)2 = EX2-(EX)2标准差：对于样本x = x1, x2, , xn，有样本方差：样本标准差：离散型随机变量的方差I方差DX = E (X-EX)2 = EX2-(EX)2在Matlab中用sum函数计算：设X的分布律为PX = xk = pk，k = 1, 2, 则方差 DX = sum (X - EX).2.*p或 DX = sum (X .2.*p) - (EX).2标准差： = sqrt (DX)例1 设服从参数为a,

20、b的均匀分布，求D(X)。解 的概率密度函数为 我们知道，方差为 编写m文件sam8_21.m function sam8_21 syms x a b; simplify(int(x*x/(b-a),x,a,b)-(a+b)/2)2) 保存文件，在MATLAB命令窗口键入下面的语句并回车 x=15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87%调用normfit函数求正态总体参数的最大似然估计和置信区间%返回总体均值的最大似然估计muhat和90%置信区间muci，%还返回总体标准差的最大似然估计sigmahat和90%置信区

21、间sigmacimuhat,sigmahat,muci,sigmaci=norfit(x,0.1)muhat = 15.0560sigmahat = 0.1397muci = 14.9750 15.1370sigmaci = 0.1019 0.2298调用normfit函数时，它的第一个输入是样本观测值向量x，第二个输入是=10.9=0.1。得到总体均值的最大似然估计为=15.0560，总体标准差的最大似然估计为=0.1397，总体均值的90%置信区间为14.9750,15.1370,总体标准差的90%置信区间为0.1019,0.2298。五、 蒙特卡洛方法有个电视游戏节目，游戏的玩法是：参赛

22、者面前有三扇关闭的门，其中一扇门的后面藏有一辆汽车，而另外两扇门的后面则各藏有一只山羊。参赛者从三扇门中随机选取一扇，若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。当参赛者选定了一扇门，但尚未开启它的时候，节目主持人会从剩下两扇门中打开一扇藏有山羊的门，然后问参赛者要不要更换自己的选择，选取另一扇仍然关上的门。这个游戏涉及到的问题是：参赛者更换自己的选择是否会增加赢得汽车的概率？1 理论求解由于游戏开始时参赛者是从三扇门中随机地选取一扇门，所以在更换选择之前，参赛者赢得汽车的概率为1/3。经分析可知，若参赛者一开始选中汽车，则更换选择后一定选不到汽车；若参赛者一开始没选中汽车，则更换后一定能选到汽车

23、。为了求解参赛者更换选择之后赢得汽车的概率，这里引入两个随机事件：=“一开始选中汽车”， =“更换选择后选中汽车”。根据全概率公式可求得参赛者更换选择之后赢得汽车的概率为01也就是说参赛者更换选择后赢得汽车的概率增大了，从最初的1/3变为2/3了，显然参赛者应该更换自己的选择。2 蒙特卡洛方法求解这里还可以通过蒙特卡洛方法求解参赛者更换选择之后赢得汽车的概率。设两只羊的编号分别为“1”和“2”，汽车的编号为“3”。现在从数字1、2、3中随机取一个数字，若一开始选中1或2，则更换选择后选中3，即赢得汽车；若一开始选中3，则更换选择后选中1或2，即得不到汽车。将这样的实验重复进行n次，记录一开始选

24、中1或2的次数m（即更换选择后赢得汽车的次数），从而可以确定更换选择后赢得汽车的频率m/n。由大数定律可知当试验次数n增大时，频率m/n趋近于更换选择后赢得汽车的概率。下面用Matlab求参赛者更换选择之后赢得汽车的概率function p = SheepAndCar(n)% p = SheepAndCar(n),利用蒙特卡洛方法求参赛者更换选择之后赢得汽车% 的概率p.这里的n是正整数标量或向量，表示随机抽样的次数。for i = 1:length(n) x = randsample(3,n(i), true ); % 随机抽样 p(i) = sum(x)/n(i); % 概率的模拟值end

25、下面调用SheepAndCar函数，针对不同的n，求参赛者更换选择之后赢得汽车的概率的模拟值。 p = SheepAndCar(10,100,1000,10000,100000,1000000) % 求概率模拟值向量P =0.7000 0.6600 0.6650 0.6663 0.6666由以上结果可以看到，随着随机抽样次数的增大，所求概率的模拟值逐渐趋近于理论值2/3。六、 结束语MATLAB在概率论与数理统计中的应用非常广泛，除了它本身提供的工具箱以外，我们还可以根据实际问题的需要，建立起相应的M一文件(命令式文件或函数式文件)，解决更加复杂的问题.因为有了MATLAB，使我们从繁重的手工

26、计算和高级语言程序调试中彻底解脱出来了，可以在最短的时间内实现和检验我们的计算方法.这里仅仅简单地提出了关于概率统计方面的一些应用，作为抛砖引玉，希望把对于MATLAB的学习与研究进一步深入下去。参考文献1苏金明，Matlab实用教程，电子工业出版社2复旦大学概率论，人民教育出版社，19793王书林，赵瑞清，概率论与数理统计北京：科学出版社，20004广西师范学院学报 自然科学版5张志涌，精通Matlab6.5，北京航空航天大学出版6谢中华，Matlab统计分析与应用，北京航空航天大学出版社7周品，赵新芬，Matlab数理统计分析，国防工业出版社8J.H.Kell,Analyzing vehicular delay at intersections through simulations,Highway Research Board,Vol.356,196216