全概率公式与贝叶斯公式PPT课件.ppt
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1、一、全概率公式一、全概率公式二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式三、小结三、小结第五节第五节全概率公式和贝叶全概率公式和贝叶斯公式斯公式1 1 引例引例 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3.1号箱装有号箱装有1个个红球红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球,3号箱装有号箱装有3 红球红球.某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球,求取得红求取得红球的概率球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱 i=1,2,3;B=取得红球取得红球1232 2B发生总是伴随着发生总是伴随着A1,A2,A3 之一发生,之一发生,其中其中A1、A
2、2、A3两两互斥两两互斥A2A1A3B即即 B=A1B+A2B+A3B,且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得到运用加法公式得到对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得 将将上上面面例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形,就得到在概率计算中常用的就得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.3 31.完备事件组完备事件组一、全概率公式一、全概率公式一、全概率公式一、全概率公式划分也称为分划、分割、完备事件组。划分也称为分划、分割、完备事件组。4 42.全概率公式全概率公式全概率公式
3、全概率公式5 56 6证明证明7 7说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.利用全概率公式求事件利用全概率公式求事件B的概率,其实质就是我们的概率,其实质就是我们熟悉的分情况讨论。情况记为熟悉的分情况讨论。情况记为A1,A2,An;就是这就是这里定义的完备事件组里定义的完备事件组。8 8例例 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产
4、的占占 30%,二厂生产的占,二厂生产的占 50%,三厂生产的占,三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解9 9由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%1%1010 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一人击中而击落机被一人击中而击落的概率为的概率为0.2,被两人击中而击落
5、的概率为被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都若三人都击中击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i人击中人击中,i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式则则 A=B1A+B2A+B3A解解依题意,依题意,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)1111可求得可求得 为求为求P(Bi),设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中,i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得P(B1)=0.36;P
6、(B2)=0.41;P(B3)=0.14.1212P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.于是于是1313该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性性最大最大?这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”.在实际中在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,探求各原因发生可能性大小生条件下,探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球,出
7、一球,发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式1414接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式1515 有三个箱子,分别编号为有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球,个白球,2号箱装有号箱装有2红球红球3白球,白球,3号箱装有号箱装有3红红球球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自
8、1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?1616某人从任一箱中任意摸出一球,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自发现是红球,求该球是取自1号号箱的概率箱的概率.记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球求求P(A1|B)运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化,就得到将这里得到的公式一般化,就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?1717称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.贝叶斯公式贝叶斯公式1818证明证明1919Thomas BayesBorn:1702 in London,EnglandDied:17 Apr
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