基于matlab的高阶低通滤波器的设计.doc

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1、目 录 摘要1第一章 滤波器基本概念 2 第二章 MATLAB简介.2第三章 模拟低通滤波器的设计3 3.1 模拟低通滤波器的工作原理.3 3.2 模拟低通滤波器的设计思路.4 3.3 模拟低通滤波器的Matlab实现.6第四章 数字滤波器的设计6 4.1数字滤波器的简介及分类.6 4.2 IIR滤波器的设计.7 4.2.1 IIR滤波器的基本结构7 4.2.2 IIR滤波器的设计思路.7 4.2.3 IIR滤波器MATLAB实现.7 4.3 FIR滤波器的设计.9 4.3.1 FIR滤波器的基本结构.9 4.3.2 FIR滤波器的设计思路.9 4.4 无限冲激响应数字滤波器和有限冲激响应滤波

2、器的比较.10第五章 总结.10第六章 参考文献.10附录A附录B附录C附录D 基于matlab 的高阶低通滤波器的设计与仿真摘 要：本论文简单介绍了模拟低通滤波器和数字低通滤波器的基本理论，并介绍有限长单位冲激响应数字滤波器和无限长数字滤波器的基本内容。并详细介绍了低通滤波器的设计与仿真。关键词：高阶低通；matlab；simulink仿真；IIR滤波器；FIR滤波器Matlab Based High Order Low-pass Filter Design and Simulationf(College of information and electrical engineering C

3、ommunication Engineering professional 2008 levels of 2 class 082312644)Abstract: This paper briefly introduces the analog low-pass filter and digital low-pass filter theory, and introduces the finite impulse response digital filter and digital filter in the basic content of infinite length. And intr

4、oduces in detail the low-pass filter design and simulation.key words: high order lowpass; MATLAB; Simulink simulation; IIR filter; FIR filter 第一章 滤波器的基本概念 滤波器，顾名思义，起到对输入信号滤波的作用。对于线性时不变系统，其时域输入和输出关系为 y(n)=x(n)h(n) (1-1) 若滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该滤波器的脉冲响应h(n)也必然是离散的。这样的滤波器为数字滤波器。当用硬件实现一个数字滤波器时，所需的元件是延迟器、乘

5、法器和加法器。若用软件在计算机上实现时，它就是一段线性卷积的程序。我们知道模拟滤波器只能用硬件来实现，其元件是电阻、电容、电感及运算放大器等。 滤波器的种类很多，分类的方法也不同，可以从功能上、实现方法上、设计方法上来分等。但总的来说，滤波器可分为两大类，即经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器是假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去掉的成分分别占不同的频带，当输入信号经过滤波器后可将想要去除的信号有效去除。现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的时间序列里估计信号的某些特征或信号本身。经典滤波器有低通、高通、带通、带阻滤波器四种，每一种又有模拟滤波器和数字滤波器两种形式。在实际工作中，我们设

6、计的滤波器都是在某些准则下对理想滤波器的近似，这就保证了滤波器在物理是可实现的同时稳定的。4第二章 MATLAB简介 MATLAB 是英文MATrix LABoratory（矩阵实验室）的缩写。目前，MATLAB已经不仅仅是一个“矩阵实验室”了，它已成为一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言。在高等院校，MATLAB已成为线性代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理等许多课程的基本教学工具，成为大学生必须掌握的基本编程语言。在科研与工程应用领域，MATLAB已被广泛地用于科学研究和解决各种具体的实际问题。可以预见，MATLAB将在科学研究和工程应用中发

7、挥越来越大的作用。 MATLAB自1984由MathWorks公司推向市场以来，历经20多年的发展和竞争，现已风靡世界。可靠的数值计算和符号计算功能、强大的绘图功能、简单易学的语言体系以及为数众多的应用工具箱是MATLAB区别于其他科学应用软件的显著标志。5（1）数值计算和符号计算功能 MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，矩阵运算从而变得简捷、高效、方便。MATLAB还提供了十分丰富的数值计算函数，并且这些数值计算算法都是国际公认的最先进、可靠的算法，其程序由世界一流专家编制和高度优化。高质量的数值计算功能为MATLAB赢得了声誉。（2）绘图功能 利用MATLAB绘图十分方便，它不仅可以

8、绘制各种图形，还可以对图形进行修饰和控制，增强图形的表现效果。MATLAB提供了两个层次的绘图操作：一种是对图形句柄进行的低层绘图操作，另一种是建立在第一种操作之上的高层绘图操作。利用MATLAB的高层绘图操作，我们不需过多地考虑绘图细节，仅仅给出一些基本参数就能绘制所需图形。利用MATLAB图形句柄操作，我们可以更灵活地对图形进行各种操作，为我们在图形表现方面开拓了一个没有束缚的空间。（3）语言体系 MATLAB具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入/输出、面向对象等程序语言特征，所以使用MATLAB也可以想使用传统编程语言一样，进行程序设计，而且简单易学、编程效率高。因此，对于从事数值

9、计算、计算机辅助设计和系统仿真等领域的人员来说，用MATLAB编程是一个理想选择。（4）MATLAB工具箱MATLAB包含两部分内容：基本部分和各种可选的工具箱。基本部分构成了MATLAB的核心内容，也是使用和构造工具箱的基础。MATLAB工具箱分为两大类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、可是建模仿真功能及文字处理功能等。学科性工具箱专业性比较强，如控制系统工具箱、信号处理工具箱、神经网络工具箱、最优化工具箱、金融工具箱、统计学工具箱等。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，用户可以直接利用这些工具箱进行相关领域的科学研究。(5)第三章 模拟低通

10、滤波器的设计3.1模拟低通滤波器的工作原理 模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性时不变系统，如图3.1所示。在时域内，它的动态特性可以用系统的单位冲激函数的响应来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信号=（t）的输出响应。这个函数从时域上反映了该滤波系统的传输特性。对于任意输入信号，系统的输出可以卷积表示： = (3.1)上式表明在对线性滤波器系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先将任意输入信号波形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通过滤波器之后的响应，并进行线性叠加从而得到总的输出信号。模拟滤波器,H(s)图3.1模拟滤波器原理频域分析中，线性滤波器的传递函数等于

11、系统的单位冲激函数的响应的拉普拉斯变换： （3.2）可以看出，当s=j，上式就是傅立叶变换的表达式，它反映了滤波器的传输特性对各种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数，它决定着滤波特性。当滤波器输入信号与输出信号的拉普拉斯变换，得 （3.3）这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的频谱，经过滤波器的作用后，被变换成的频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定，就可以得到不同类型的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号与它的单位冲激函数响应之间的数学卷积运算过程。3.2 模拟低通滤波器的设计思路根据用户对所要设计的滤波器的设计要求，我们可以根据这些要求设计

12、滤波器。通常用户对模拟滤波器提出的要求有a.滤波器的性能指标，包括截止频率、上下边界频率，通带波纹、阻带衰减等等b.滤波器的类型，通常为巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器等利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为：（1）给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率或上、下边界频率；通带波纹、阻带衰减以及滤波器的类型等。（2）确定滤波器阶数（3）设计模拟低通原型滤波器。（4）按频率变换法设计模拟滤波器模拟低通滤波器的设计指标有，和，其中和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。 是通带（=0）中的最大衰减系数，是阻带的最小衰减系数，和一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： （3.4） （3.5）如果=0处

13、幅度已归一化为一，即，和表示为 （3.6） （3.7）以上技术指标用图2.2表示，图中称为3dB 截止频率，因,-20 10.7070图3.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数，希望其幅度平方函数满足给定的指标和，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此 = (3.8)如果能由，求出，那么就可以求出所需的，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是必须是稳定的。因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的的极点落在右半平面。3.3模拟低通滤波器的MATLAB仿真 以上所讨论的设计思想，在MATLAB对模拟滤波器进行仿真的过程中

14、依然适用，其具体步骤总结如下：（1） 确定模拟滤波器的性能指标，如截止频率；上、下边界频率,。（2） 确定滤波器阶数。（3） 设计模拟低通滤波原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型函数buttap,cheb1ap。MATLAB信号处理工具箱的频率变换函数lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照这种设计思想的编程较为麻烦。MATLAB信号处理工具箱还提供模拟滤波器的完全设计函数：butter,cheby1等。3.4 模拟原型滤波器Matlab的实现 1.巴特沃斯模拟低通滤波器 巴特沃斯模拟低通滤波器的平方幅频响应函数为 H(j)2=A(2) = 其中wc是低通滤波器

15、的截止频率，N为滤波器的阶数。 该滤波器的特点：通带内具有最大平坦的频率特性，且随着频率的增大平滑单调下降；阶数越高，特性愈接近矩形，过渡带愈窄传递函数无零点。 利用 Matlab设计巴特沃斯滤波器的程序 z,p,k=buttap(N); %设计巴特沃斯滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %将零点增益形式转换为传递函数形式 H,w=freqs(b,a,n); %按n指定的频率点给出频率响应 magH2=(abs(H).2; %给出传递函数幅度平方 程序运行结果如下: 可以看出，滤波器的幅频平方特性随着频率的增加而单调下降。随着滤波器的阶数的增大，其幅频特性越接近矩形。2.切比雪夫I模拟

16、低通滤波器 切比雪夫I型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为 H(j)2=A(2) =其中，为小于1的正数，表示通带内的幅值波纹情况；为截止频率，N为切比雪夫多项式阶数，为切比雪夫多项式。切比雪夫I型滤波器特点是：通带内具有等波纹起伏特性，在阻带内单调下降，具有更大的衰减特性；阶数越高，特性越接近矩形。传递函数无零点。Matlab信号处理箱中专门利用函数cheblap设计N阶切比雪夫I型模拟低通滤波器原型。其设计程序为 z,p,k=cheb1ap(N,Rp); %设计切比雪夫I型滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %转换为传递函数形式 H,w=freqs(b,a,n); %求的传递函数的

17、频率特性 magH2=(abs(H).2; %求的传递函数的幅频响应程序运行结果如下： 由上图可知，与巴特沃斯滤波器相比，在相同的阶数下切比雪夫滤波器具有更窄的过渡带。但是这是在牺牲了通带的平滑程度换来的。 3.切比雪夫II型模拟低通滤波器 切比雪夫II型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为 H(j)2=A(2)= 该滤波器的特点是：阻带内具有等波纹的起伏特性，而在通带内是单调、平滑的，阶数越高，频率特性越接近矩形，传递函数既要有极点又要有零点。 Matlab信号处理箱提供函数cheb2ap设计N阶切比雪夫II型模拟低通滤波器。其设计程序如下： z,p,k=cheb2ap(N,Rs); %设计C

18、hebyshevII型模拟低通滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %转化为传递函数 H,w=freqs(b,a,n); %求出滤波器的频率响应 magH2=(abs(H).2); %频率响应的幅度平方程序运行结果如图所示： 由上图可知切比雪夫II滤波器在通带内是单调平滑的，而在阻带内却出现了波纹。随着滤波器阶数的增高，其幅频特性越接近矩形。 4.椭圆滤波器 椭圆模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为 H(j)2=A(2) = 式中为小于1的正数，表示波纹情况；为低通滤波器的截止频率，N为滤波器的阶数， 为椭圆函数。 椭圆滤波器的特点：在通带和阻带内都具有等波纹起伏特性，与巴特沃斯滤波器和切

19、比雪夫滤波器相比，相同的性能指标所需的阶数最小，但是相频响应却具有十分明显的非线性。 MATLAB信号处理工具箱提供椭圆模拟低通滤波器的设计函数ellipap.其主要程序是Rp=1;Rs=15; %设置通带波纹为1dB,阻带衰减为15dB z,p,k=ellipap(N,Rp,Rs); %设计椭圆滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %将零极点增益形式转化为传递函数形式 H,w=freqs(b,a,n); %求得传递函数的复数频率响应 magH2=(abs(H).2; %给出幅度函数平方函数 其运行结果如图所示： 由上图可知，椭圆滤波器的过渡带已相当窄，这种特性是以牺牲通带和阻带的单调平

20、滑性为代价的而换来的。 对前四种模拟原型滤波器做一总结可知：Butterworth滤波器在通带和阻带内具有平滑单调的特点，但在相同过渡带宽的条件下，该滤波器所需的阶数最多。ChebyshevI和II型滤波器在通带或阻带内具有波纹，但在相同过渡带宽的条件下，该滤波器所需的阶数比Butterworth滤波器更少。椭圆滤波器在通带和阻带内均有波纹出现，但在相同过渡带宽的条件下，该滤波器所需阶数最少。第四章 数字滤波器的设计 4.1 数字滤波器的简介 数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分，滤波器的设计是信号处理的核心问题之一。和模拟滤波器一样，数字滤波器的主要功能是对数字信号进行处理，最常见的

21、处理是保留数字信号的有用频率成分，去除信号中的无用频率成分。按时间域特性，数字滤波器可以分为无限冲激响应数字滤波器和有限冲激响应数字滤波器两类。 随着信息时代的到来，数字信号处理已经成为当今一门极其重要的学科和技术，并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理中，数字滤波器占有极其重要的地位，它具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。现代数字滤波器可以用软件或硬件两种方式来实现。软件方式实现的优点是可以通过滤波器参数的改变去调整滤波器的性能。 4.2 IIR滤波器的设计 4.2.1 IIR滤波器的基本结构 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器有以下几个特点：（1） 系

22、统的单位响应h(n)是无限长的；（2） 系统函数H(z)在有z平面（0z0处收敛，在z0z处只有零点，即有限z平面只有零点，而全部极点都在z=0处（因果系统）；（3） 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。4.3.2 FIR滤波器的设计思路 IIR数字滤波器的设计方法主要是借助于模拟滤波器的设计方法。IIR滤波器的设计中的各种变换方法对于FIR滤波器的设计是不合适的，因为IIR滤波器的设计是面向零极点系统的，而FIR滤波器仅包含零点。目前，FIR数字滤波器的设计主要是以理想滤波器频率特性为基础，然后以某种方式加以逼近。这些方法有窗

23、函数法、频率采样方法及最佳一致逼近法等。 由于加窗的过程就是在时域中理想滤波器的单位冲激响应和窗函数的乘积，按复卷积定理有加窗所得滤波器的频率响应为理想滤波器的频率的频率响应和窗函数的频率响应的卷积。对实际FIR滤波器频率响应的幅度函数起影响的是窗函数频率响应的幅度函数。 只有当窗函数的能量集中在主瓣，旁瓣能量越小，即越逼近冲激函数时，H(w)才能逼近Hd(w)。 显然，希望窗函数满足以下两项要求：（1） 窗函数幅度谱的主瓣宽度决定了过渡带的宽度，因此窗函数幅度谱的主瓣应尽可能地窄，以获得较窄的过渡带；（2） 最大旁瓣的相对幅度决定了通带纹波和阻带衰减的大小，因此窗函数幅度谱的最大旁瓣幅度应尽

24、可能地小，以减小通带纹波，增大阻带衰减。但是，上述两项要求不能同时得到满足，主瓣变窄会导致旁板幅度的增加，旁瓣幅度的减小会导致主办的宽度加宽。因此，窗函数的选取，往往是在满足阻带衰减的条件下，尽可能地使过渡带要窄。4.4无限冲激响应数字滤波器和有限冲激响应滤波器的比较 两类滤波器之所以有多种方法，是因为没有一种滤波器，也没有一种设计方法在所有的情况下都是最佳的。 选择哪一种取决于人们对于每一类滤波器的优缺点的权衡结果。无限长冲激响应滤波器的优点是可利用现成的设计公式，即一旦所涉及的滤波器类型已知，则可以直接把设计指标带入设计方程组，就可以得到要求得数字滤波器的所有系数。但是这只适用于要求设计少

25、数几阶滤波器。 有限长冲激响应滤波器就没有现成的设计方法。常用迭代算法满足预定的技术指标，因此设计这些滤波器需要功能较强、容量较大的计算机。设计IIR滤波器只要模拟滤波器设计参数就行了。但是这种简单性是牺牲了滤波器的灵活性换来的。利用这些现成的公式主要设计低通、带通和高通滤波器等。此外IIR设计中忽略了滤波器的相位响应。 相反的是，有限冲激响应应有精确的线性相位特性。而且窗函数和其他大多算法能更加接近任意的频率响应。所以看起来设计有限冲激响应滤波器比设计无限长冲激响应要灵活自如的多。第五章 总结本文首先简单介绍了滤波器的基本概念，然后又阐述了MATLAB的基本内容。着重讲述模拟低通滤波器和数字

26、滤波器的设计与比较。第六章 参考文献 （1）程佩青 ，数字信号处理教程，北京；清华大学出版社，2007年（2）张德丰，数字信号处理与应用，北京；清华大学出版社，2010年（3）李莉，王沛，俞玉莲，常宁，数字信号处理原理和算法实现，北京；清华大学出版社，2010年（4）万永革，数字信号处理的MATLAB实现，北京；科学出版社，2007年（5）刘卫国，MATLAB程序设计与应用，北京；高等教育出版社，2006年（6）杨顺辽，李永全，数字信号处理实现与实践，武汉；华中科技大学出版社（7）王嘉梅，基于MATLAB的数字信号处理与时间开发，西安；西安电子科技大学出版社，2007年附录A 巴特沃斯滤波器绘

27、制巴特沃斯模拟低通滤波器的幅频平方响应曲线，阶数分别为1,6,10,15,20 n=0:0.1:2; %频率点 for ii=1:5 %取4种滤波器 switch ii case 1,N=1; case 2,N=6; case 3,N=10; case 4,N=15; case 5,N=20; end z,p,k=buttap(N); %设计巴特沃斯滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %将零点增益形式转换为传递函数形式 H,w=freqs(b,a,n); %按n指定的频率点给出频率响应 magH2=(abs(H).2; %给出传递函数幅度平方 hold on; plot(w,magH2

28、); %绘制传递函数平方 end xlabel(w/wc); ylabel(H(jw)2); title(Butterworth模拟低通滤波器); text(1.5,0.1,n=1) %作必要标记 text(1.3,0.08,n=6) text(1.16,0.08,n=10) text(1.01,0.90,n=15) text(0.93,0.98,n=20) grid on; 附录B切比雪夫I型模拟低通滤波器绘制切比雪夫I型模拟低通滤波器的平方幅频响应曲线，阶数为1,4,6,10 程序如下： n=0:0.01:2; %设置频率点for ii=1:4 switch ii case 1,N=1;

29、case 2,N=4; case 3,N=6; case 4,N=10; end Rp=1; %为通带波纹为1dB z,p,k=cheb1ap(N,Rp); %设计切比雪夫I型滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %转换为传递函数形式 H,w=freqs(b,a,n); %求的传递函数的频率特性 magH2=(abs(H).2; %求的传递函数的幅频响应 posplot=2,2, num2str(ii); %将数字ii换为字符串，与2，2合并并赋给posplot subplot(posplot); plot(w,magH2); title(N= num2str(N);%将数字N转换为字符

30、串与N=合并为标题 xlabel(w/wc); ylabel(切比雪夫IH(jw)2); grid onend附录C 切比雪夫II型模拟低通滤波器 绘制切比雪夫II型模拟低通滤波器的平方幅频响应曲线，阶数分别为1，4,6,10程序如下： n=0:0.01:2; %设置频率点 for ii=1:4 switch ii case 1,N=1; case 2,N=4; case 3,N=6; case 4,N=10; end Rs=16; z,p,k=cheb2ap(N,Rs); %设计ChebyshevII型模拟低通滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k); %转化为传递函数 H,w=freqs(

31、b,a,n); %求出滤波器的频率响应 magH2=(abs(H).2; %频率响应的幅度平方 posplot=2,2, num2str(ii); subplot(posplot); plot(w,magH2); %绘出幅频平方响应函数 title(N= num2str(N); xlabel(w/wc); ylabel(切比雪夫II型 H(jw)2); grid on; end附录D 例：绘制椭圆滤波器的幅频平方响应曲线，阶数分别为1,4,6,10程序如下所示： n=0:0.01:2; %设置频率点for ii=1:4 switch ii case 1,N=1; case 2,N=4; case 3,N=6; case 4,N=10; end Rp=1;Rs=15; %设置通带波纹为1dB,阻带衰减为15dB z,p,k=ellipap(N,Rp,Rs); %设计椭圆滤波器 b,a=zp2tf(z,p,k);