五种插值法的对比研究毕业论文.doc

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1、题目：五种插值法的对比研究xxx大学本科生毕业论文开题报告表论文（设计）名称五种插值法的对比研究论文（设计）来源自选论文类型指导教师学生姓名学 号专 业2006级数学与应用数学一、选题依据及意义：依据：在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。意义：插值法有大量的实际应用。我们学习过五种基本的插值方法，即拉格朗日线性插值、牛顿线性插值、分段线性插值、分段三次插值、样条插值函数。通过对五种插值法的对比研究，让学习着能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。二、研究条件：指导老师给予的精心指导，组其他同学的热心帮助，学校图书馆提供的丰富的相

2、关书籍、论文等研究资料供检索及一台性能优越的计算机。 三、研究目标、内容和创新之处： 1、研究目标：扩宽学习者的解题思路，增强学习者理论联系实际的意识。2、研究内容：线性插值、分段线性插值、分段三次插值、样条插值函数的对比研究等. 。3、创新之处：插值法在一题多解中的应用及各种插值法在不同题型中独特的优势。四、前期准备：查阅资料，搜集经典习题及各种插值法的解题思想。五、预期成果：掌握插值法的解题思想，并能熟练运用插值法解决实际问题。六、进度计划：第一阶段：撰写开题报告 2012年10月23日2012年11月10日 第二阶段：收集资料，撰写提纲 2012年11月11日2012年12月20日第三阶

3、段：毕业论文初稿撰写 2012年12月21日2013年02月28日第四阶段：毕业论文二稿撰写 2013年03月22日2013年04月11日第五阶段：论文三稿撰写或定稿 2013年04月19日2013年05月16日第六阶段：毕业论文答辩 2013年05月31日2013年06月13日 指导教师签名： 日 期：2012 年 10月22 日论文（设计）类型：A理论研究；B应用研究；C软件设计等；五种插值法的对比研究1一 插值法的历史背景2二 五种插值法的基本思想3（一） 拉格朗日插值3（二） 牛顿插值3（三） 埃尔米特插值4（四） 分段线性插值5（五） 样条插值5三 五种插值法的对比研究6四 插值法在

4、matlab中的应用13五 参考文献15五种插值法的对比研究 摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中碰到的函数是各种各样的 ，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。本文详细介绍了拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、埃尔米特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例入手，探讨了五种插值法的优缺点和适用范围。.通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总

5、结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。关键词：插值法 对比 实际应用Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to che

6、ck the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of differe

7、nt types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpol

8、ation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem. 引言在许多实际

9、问题中，常常需要根据一张函数表推算该函数在某些点上的函数值，或要求解决与该函数有关的一些问题，例如分析函数的性态，求导数、积分、零点与极值点等。解决此类问题的简单途径之一是：根据函数表中给出的数据，选择一个比较合理且易计算的近似函数代替原来的函数。虽然在某个区间上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值，这只是一张函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表中的函数值。因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算简单函数，用近似.通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为，并使对成立.

10、这样确定的就是我们希望得到的插值函数.一 插值法的历史背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时，我国刘焯(zhuo)已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton和Gregory(格雷格里)建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日)给出了更一般的非等距节点插值公式。而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。二 五种插值法的基本思想（一） 拉格朗日插值对某个多项式函数，已知有给定的个取值点：,其中对应着自变量的位置，而对应着函数

11、在这个位置的取值。假设任意两个不同的都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： ，其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：，拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点， 上取值为0.（二） 牛顿插值1 差商定义一般地，k阶差商为： 我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有：2 牛顿插值公式下面我们从差商的定义来构造n次代数插值多项式的另一种表达式牛顿插值多项式。由一阶差商的定义得类似地，由二阶差商至n阶差商的定义可得到下列方程组 解这个方程即得：为不高于n次的多项式，可验证，称是过n+1个插值点的n阶插值多项式（三） 埃尔米特插

12、值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。 设已知函数f(x)在插值区间a,b上n+1个互异的节点xi(i=0,1,n) 处的函数值f(xi)=fi 及一阶导数值 = （i=0,1,2,n）,若存在函数H(x)满足条件：（1）H（x）是一个次数不超过2n+1次

13、的多项式；（2）H（）=f（），（）=（） （i=0,1,2,n）.则称H（x）为f（x）在n+1个节点xi上的埃尔米特插值多项式。（四） 分段线性插值给定区间, 将其分割成，已知函数在这些插值结点的函数值为；求一个分段函数,使其满足： (1) ，； (2) 在每个区间上, 是个一次函数.易知,是个折线函数, 在每个区间上,于是, 在上是连续的，但其一阶导数是不连续的.于是即可得到如下分段线性插值函数：,其中 （五） 样条插值分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差；对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条用

14、压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶连续可导，从数学上加以概括得到数学样条这一概念。给定区间上个节点和这些点上的函数值，若函数满足：（1）在每个子区间上是不高于三次的多项式；（2）在上连续；满足插值条件，则称为函数关于节点的三次样条插值函数.三 五种插值法的对比研究本文的前半部分主要介绍了插值法的历史背景及五种插值法的基本思想，本文的后半部分将从插值法的具体例题出发，讨论五种插值法的优缺点及适用范围。例1 已知011分别利用给出的节点构造拉格朗日和牛顿一次和二次插值解:（1）拉格朗日型插值多项式

15、构造过的一次插值基函数 构造过的二次插值基函数 因此 （2）牛顿型插值多项式构造牛顿一次插值函数因为 所以 构造二次插值函数因为 于是 由拉格朗日公式，牛顿公式及例题可以看出：拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐，而且当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.牛顿插值公式是n次插值多项式的又一种构造形式，但它克服了拉格朗日插值多项式的缺点，

16、它的一个明显优点是，每增加一个插值节点，只要在原牛顿插值公式中增添一项便可形成高一次的插值公式。而且在实际应用中，经常会遇到插值节点是等距分布的情况，这时，牛顿插值公式可以进一步简化，得到等距节点的插值公式，从而能够大大的缩短实际运算的时间。但是这种代数插值，只要求插值多项式在插值节点处与被插值函数有相同的函数值，但是这种插值多项式往往还不能全面反映被插值函数的性态，许多实际问题不但要求插值函数与被插值函数在各节点的函数值相同，而且还要求插值多项式在某节点或全部节点上与被插值函数的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。而这时拉格朗日插值与牛顿插值就不满足这种要求了。例2 过0,1两点构造一个

17、三次埃尔米特插值多项式，满足条件; 解：因此 有上面的例题可以看出：埃尔米特插值是我们知道了函数在某些点出的函数值，而且插值函数在这些点处的导数也和被插函数一致，所以在几何上，这种插值函数不仅和被插函数在插值节点处有相同的函数值“过点”，而且和被插函数在节点处有相同的切线“相切”。因此，插值函数和被插函数的贴合程度要比多项式的程度好。但是埃尔米特插值只有当被插值函数在插值节点处的函数值和导数值已知时才能使用，这在实际问题中是不现实的，因为在一般情况下不可能也没有必要知道函数在插值节点处的导数值。所以是否知道插值函数在节点处的导数值成为能否运用埃尔米特插值的一个重要因素例3 给定函数 取等距节点

18、试建立插值多项式，并探究它与的误差。 解：插值多项式的次数为10，用拉格朗日插值公式有 其中 计算结果如表所示-1.000.038460.03846-0.400.200000.19999-0.900.047061.57872-0.300.307690.23535-0.800.058820.05882-0.200.500000.50000-0.700.07547-0.22620-0.100.800000.84340-0.600.100000.100000.001.000001.00000-0.500.137930.253760,1区间上的值由对称性可以得到，从表上可以看出，在原点附近能较好的逼近

19、，在其他部位与的差异较大，越靠近端点，逼近的效果就越差。由这个例题可以很容易看出拉格朗日插值多项式在高次插值中的不足，为了弥补这种不足一般采用分段线性插值的方式。例4 给定函数取等距节点，作分段线性插值函数，并计算的值。 解 给出-1,0区间上的函数值表：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.038460.058820.100000.200000.500001.00000在区间0,1上的函数值可利用对称性得到。先构造各点的插值基函数：（其中j=1，2，9）分段线性插值函数是所以 =0.03846（-5）（-0.9+0.8）+0.05882 5 (-0.9+1) =0.5 0.03846+0

20、.5 0.05882 =0.04864分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍入误差影响不大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点。5给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：解由此得矩阵开工的方程组为求解此方程组，得又三次样条表达式为将代入得

21、 对三次样条插值函数来说，当插值节点逐渐加密时，不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其微商也收敛于函数的微商，这种性质要比多项式插值优越得多。而且样条函数不一定必须是逐段三次多项式，也可以逐段是一个简单函数，且连续点保持足够光滑。四 插值法在matlab中的应用题目背景及数据和要求：例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。源程序和运行结果（1）先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.在matlab中输入以下命令：x=1:5;y=1:3;t

22、emps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)得到图像如下：（2）以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图. 从上面两幅图像可以看出：用三维坐标画出的图像虽然也可以表达出钢板表面温度的变化，但是只是表现出具体的几个点的变化不足以表现整块钢板在每个点的变化，而且误差比较大，得出的图像也不够光滑。而用插值法与matla

23、b相结合，不仅解决了三维坐标图所带有的缺点而且还简化了作图的过程。上面只是一例插值法在现实生活中的应用，它的应用范围还极其广泛，因此，熟练掌握插值法和matlab极为重要。本文简要介绍了几个常用的插值方法：拉格朗日插值，插值，埃尔米特插值，分段插值以及三次样条插值，并分别介绍了各自的适用范围以及优劣性.插值法是一个古老而实用的数值方法，它为今后学习数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析奠定了基础.五 参考文献1 数值分析基础 M.同济大学出版社.19982张韵华 陈效群.数值计算方法与算法M，科学出版社.20103曾金平.数值计算方法M.湖南大学出版社.20044钟尔杰 黄延祝.数值分析M.高等教育出版社.20045石瑞民.数值计算M.高等教育出版社.20046李有法.数值计算方法M.高等教育出版社.20057徐萃薇.计算方法引论M.高等教育出版社.2007致谢辞：感谢四年来所有老师和同学对我的帮助，特别感谢我的指导老师在这次论文写作中对我的提出的宝贵意见！18