Taylor公式在数值分析中的应用.doc
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1、临沂大学理学院2011届本科毕业论文(设计)xx届 临沂大学理学院毕业论文Taylor公式在数值分析中的应用姓 明 学 号 年 级 专 业数学与应用数学 系(院) 理学院 指导教师 2011年05月01日摘 要著名的泰勒公式是一古典数学问题, 它在数学、物理多种领域都有广泛应用,在现代数学中仍有重要价值.它能将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能使它成为解决数学问题的强有力工具.本文章阐述了泰勒公式在计算行列式,求解代数精度,常微分方程数值方法等几个方面的应用,并通过典型例题给出了泰勒公式在求解数值分析问题中的具体应用.关键词:Taylor公式;数值分析;应用 AB
2、STRACTThe famous Taylor formula is a classical mathematic problem, which has widely applied in mathematics, physics multiple, and it still has important value in modern mathematics. It will be express some complex function approximation for simple polynomial function. It changes numerous for brief f
3、unction to make it become a powerful tool for solving mathematic problems. This paper expounds the Taylor formula use for calculating the determinant, precision, and differential equation algebraic numerical method etc, and gives the specific application of Taylor formula in solving the typical exam
4、ples of numerical analysis. Key words: Taylor formula; numerical analysis; application目 录1 引言- 1 -2.预备知识- 3 -3TAYLOR公式在数值分析中的应用- 3 -3.1在计算行列式方面的应用- 3 -3.2 在求代数精度方面的应用- 4 -3.3在判断级数敛散性方面的应用- 7 -3.4在常微分方程数值方法中的应用.- 9 -4结论- 11 -参 考 文 献- 12 -致 谢- 13 -1 引言在数学史上,泰勒公式起源于牛顿插值的有限差方法.克莱因关于数学史的专著古今数学思想 第二卷的167页
5、,概述了泰勒公式的发现过程:“泰勒在他研究的有限差计算的一本出版物增量法厦其逆(1715年) 中,推导出他在1712年曾经叙述过的定理,遗定理至夸仍用他的名字命名,他顺便称赞了牛顿,却没有提到莱伯尼兹1673年在有限差方面的工作, 虽然泰勒是知道这些工作的.泰勒定理在1670年就已经为格雷戈里(JGregory)所知,大概稍后又为莱伯尼兹独立发现过;然而这两个人都没有发表它.实际上,贝努里(JBernoulli)确曾于1694年在教师学报上发表了相同的结果;虽然泰勒知道这个结果,但并没有引证过它. ”(1 67页)在这里,克莱因为一些数学家鸣不平,而对泰勒的科学道德提出了质难.不过,如果他确能
6、尊重历史、主持公道的话,他应当正确地评估中国古代数学家在这方面的杰出贡献事实上,我国古代天文学家们开创了有限差计算的先河,隋朝刘焯的杰作皇极历(600年)、中唐僧一行所造的大衍历法(727年)都曾对内插公式作过深人的研究,而晚唐徐昂造宣明布(822年)与牛顿内插公式(1670年)完全一致.请注意,中国人的这些研究工作要比牛顿、泰勒早一千年.令人遗憾的是,克莱因在古今数学思想一书中,对此竟只字未提.尤其令人不能容忍的是,这本书的序中竟妄加评论说:为着不健资料漫无边际,我忽略了几种文化,例如中国的文化,因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大的影响.巅倒的历史必须再巅倒过来.泰勒公式扎根于函数插值
7、的有限差计算, 而高精度的插值方法可追溯到隋唐时代的中国古代数学这才是历史的真相.克莱因古今数学思想一书在评价牛顿与莱伯尼兹关于微积分的开创性工作时, 特别强调他们两人都算术化了徽积分即在代数的概念中建立徽积分.这种看法是很有见识的.微积分的创立主要是代数方法的成功,而早期微积分的无穷小分析实际上建立在代数工具的二项式展开上.我们知道, 二项式展开是初等数学的精华,它在高等数学中扮演着什么样的角色呢?设令,则式可表示为 我们看到,这样得出的算式竟是函数 的泰勒展开式 幂函数是微积分中最简单、最基本的函数类,而泰勒公式的实质在于用幂函数组合生成的多项式逼近一般函数,式表明,初等数学的二项式展开实
8、际上是高等数学的泰勒公式 的原型.逼近法是一类极为重要的数学方法,其基本原理是化繁为简,以简御繁.美籍华人学者项武义著有一本微积分大意,该书的一个重要特点是以逼近法(而不是极限法)统贯全书.项武义在书中感慨地说:“俗语常用程咬金三斧头来笑话一个人的招式贫乏那么微积分就只有逼近法这一斧头了!可是逼近法这一斧头却是无往不利、无坚不摧的!”微积分的逼近法其中最精粹的部分就是泰勒公式.从微积分的观点看,在一切函数中,以多项式为最简单.泰勒公式 的重要意义在于表明,充分光滑的函数可以用多项式进行局部逼近.这种逼近方法称泰勒逼近它有着广泛的实际应用.泰勒逼近在数学方法论上也有重大价值它可以概括为下述基函数
9、方法:一般函数可用一系列简单函数 所谓基函数系来表示:在泰勒公式中,基函数取而组台系数则为导数值然而泰勒逼近存在严重的缺陷:它的条件很苛刻,要求足够光滑并提供出它的各阶导数值,此外泰勒逼近的整体效果差它仅能保证在展开点的某个邻域内,即某个局部范围内有效.基于此本文章应用泰勒公式阐述其在计算行列式,求代数精度,常微分方程数值方法等几个方面的应用,.进一步完善泰勒公式在数值分析中的应用.2.预备知识泰勒公式定理:若函数满足如下条件:(1)在闭区问上函数存在直到n阶连续导数,(2)在开区间内存在函数的n+1阶导数,则至少使得 (2-1) 记 (2-2) (2-3)我们称(2-1)式是函数在处的Tay
10、lor公式,(2-2)式称为函数在处的Taylor多项式, 称为函数在处的Taylor公式余项,形如(2-3)式的余项称为Lagrange型余项,当时,我们称其为Piano型余项.Taylor公式在时称为麦克劳林公式,即: 其中3Taylor公式在数值分析中的应用3.1在计算行列式方面的应用泰勒公式是高等数学中一个重要内容,在代数中有关利用代数知识计算行列式的方法很多,但应用微分学得方法来计算行列式却很少提起,然而应用泰勒公式求解行列式确实有效,在计算行列式的时候如果把行列式看作的函数,记作,按泰勒公式在展开后计算,可起到一定的简便作用.利用泰勒公式计算行列式的主要思路:根据所求行列式的特点,
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- Taylor 公式 数值 分析 中的 应用