Taylor公式在数值分析中的应用.doc

1、临沂大学理学院2011届本科毕业论文（设计）xx届 临沂大学理学院毕业论文Taylor公式在数值分析中的应用姓 明 学 号 年 级 专 业数学与应用数学 系（院） 理学院 指导教师 2011年05月01日摘 要著名的泰勒公式是一古典数学问题, 它在数学、物理多种领域都有广泛应用,在现代数学中仍有重要价值.它能将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能使它成为解决数学问题的强有力工具.本文章阐述了泰勒公式在计算行列式,求解代数精度,常微分方程数值方法等几个方面的应用,并通过典型例题给出了泰勒公式在求解数值分析问题中的具体应用.关键词：Taylor公式;数值分析;应用 AB

2、STRACTThe famous Taylor formula is a classical mathematic problem, which has widely applied in mathematics, physics multiple, and it still has important value in modern mathematics. It will be express some complex function approximation for simple polynomial function. It changes numerous for brief f

3、unction to make it become a powerful tool for solving mathematic problems. This paper expounds the Taylor formula use for calculating the determinant, precision, and differential equation algebraic numerical method etc, and gives the specific application of Taylor formula in solving the typical exam

4、ples of numerical analysis. Key words: Taylor formula; numerical analysis; application目 录1 引言- 1 -2.预备知识- 3 -3TAYLOR公式在数值分析中的应用- 3 -3.1在计算行列式方面的应用- 3 -3.2 在求代数精度方面的应用- 4 -3.3在判断级数敛散性方面的应用- 7 -3.4在常微分方程数值方法中的应用.- 9 -4结论- 11 -参 考 文 献- 12 -致 谢- 13 -1 引言在数学史上,泰勒公式起源于牛顿插值的有限差方法.克莱因关于数学史的专著古今数学思想 第二卷的167页

5、,概述了泰勒公式的发现过程：“泰勒在他研究的有限差计算的一本出版物增量法厦其逆(1715年) 中,推导出他在1712年曾经叙述过的定理,遗定理至夸仍用他的名字命名,他顺便称赞了牛顿,却没有提到莱伯尼兹1673年在有限差方面的工作, 虽然泰勒是知道这些工作的.泰勒定理在1670年就已经为格雷戈里(JGregory)所知,大概稍后又为莱伯尼兹独立发现过;然而这两个人都没有发表它.实际上,贝努里(JBernoulli)确曾于1694年在教师学报上发表了相同的结果;虽然泰勒知道这个结果,但并没有引证过它. ”(1 67页)在这里,克莱因为一些数学家鸣不平,而对泰勒的科学道德提出了质难.不过,如果他确能

6、尊重历史、主持公道的话,他应当正确地评估中国古代数学家在这方面的杰出贡献事实上,我国古代天文学家们开创了有限差计算的先河,隋朝刘焯的杰作皇极历(600年)、中唐僧一行所造的大衍历法(727年)都曾对内插公式作过深人的研究,而晚唐徐昂造宣明布(822年)与牛顿内插公式(1670年)完全一致.请注意,中国人的这些研究工作要比牛顿、泰勒早一千年.令人遗憾的是,克莱因在古今数学思想一书中,对此竟只字未提.尤其令人不能容忍的是,这本书的序中竟妄加评论说：为着不健资料漫无边际,我忽略了几种文化,例如中国的文化,因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大的影响.巅倒的历史必须再巅倒过来.泰勒公式扎根于函数插值

7、的有限差计算, 而高精度的插值方法可追溯到隋唐时代的中国古代数学这才是历史的真相.克莱因古今数学思想一书在评价牛顿与莱伯尼兹关于微积分的开创性工作时, 特别强调他们两人都算术化了徽积分即在代数的概念中建立徽积分.这种看法是很有见识的.微积分的创立主要是代数方法的成功,而早期微积分的无穷小分析实际上建立在代数工具的二项式展开上.我们知道, 二项式展开是初等数学的精华,它在高等数学中扮演着什么样的角色呢?设令,则式可表示为 我们看到,这样得出的算式竟是函数 的泰勒展开式 幂函数是微积分中最简单、最基本的函数类,而泰勒公式的实质在于用幂函数组合生成的多项式逼近一般函数,式表明,初等数学的二项式展开实

8、际上是高等数学的泰勒公式 的原型.逼近法是一类极为重要的数学方法,其基本原理是化繁为简,以简御繁.美籍华人学者项武义著有一本微积分大意,该书的一个重要特点是以逼近法(而不是极限法)统贯全书.项武义在书中感慨地说：“俗语常用程咬金三斧头来笑话一个人的招式贫乏那么微积分就只有逼近法这一斧头了!可是逼近法这一斧头却是无往不利、无坚不摧的!”微积分的逼近法其中最精粹的部分就是泰勒公式.从微积分的观点看,在一切函数中,以多项式为最简单.泰勒公式 的重要意义在于表明,充分光滑的函数可以用多项式进行局部逼近.这种逼近方法称泰勒逼近它有着广泛的实际应用.泰勒逼近在数学方法论上也有重大价值它可以概括为下述基函数

9、方法：一般函数可用一系列简单函数 所谓基函数系来表示：在泰勒公式中,基函数取而组台系数则为导数值然而泰勒逼近存在严重的缺陷：它的条件很苛刻,要求足够光滑并提供出它的各阶导数值,此外泰勒逼近的整体效果差它仅能保证在展开点的某个邻域内,即某个局部范围内有效.基于此本文章应用泰勒公式阐述其在计算行列式,求代数精度,常微分方程数值方法等几个方面的应用,.进一步完善泰勒公式在数值分析中的应用.2.预备知识泰勒公式定理：若函数满足如下条件：（1）在闭区问上函数存在直到n阶连续导数,（2）在开区间内存在函数的n+1阶导数,则至少使得 （2-1） 记 （2-2） （2-3）我们称(2-1)式是函数在处的Tay

10、lor公式,(2-2)式称为函数在处的Taylor多项式, 称为函数在处的Taylor公式余项,形如(2-3)式的余项称为Lagrange型余项,当时,我们称其为Piano型余项.Taylor公式在时称为麦克劳林公式,即： 其中3Taylor公式在数值分析中的应用3.1在计算行列式方面的应用泰勒公式是高等数学中一个重要内容,在代数中有关利用代数知识计算行列式的方法很多,但应用微分学得方法来计算行列式却很少提起,然而应用泰勒公式求解行列式确实有效,在计算行列式的时候如果把行列式看作的函数,记作,按泰勒公式在展开后计算,可起到一定的简便作用.利用泰勒公式计算行列式的主要思路：根据所求行列式的特点,

11、构造相应的行列式函数,再把这个行列式按泰勒公式在某点展开,只要求出行列式函数的各阶导数值即可.下面通过一个例子来具体说明求解过程.例1 求阶行列式D=的值 解 设,按泰勒公式在处展开 （3-1）易知D= （3-2）由（3-2）得,k=1,2n时成立.根据行列式求导的规则有,于是在x=z处的各阶导数为把以上各数代入（3-1）式中,有 若有,若有,由此可知只要行列式函数的各阶导数较易计算,则应用泰勒公式计算行列式就非常简便.3.2 在求代数精度方面的应用泰勒(Taylor) 公式集中体现了微积分逼近法的精髓, 在高等数学中有着重要的应用. 泰勒(Taylor ) 公式的重点就在于使用一个 次多项式

12、去逼近一个已知的函数, 而且这种逼近具有很好的性质: 与在x 点具有相同的直到 阶的导数.引理1 设 在 上 阶导数存在,任意 则有 （3-3）其中引理2 设 在 上 阶导数存在, 且 在点处连续, 0,则有证 对在上应用中值定理 于是 （3-4）把（3-4）代入（3-3）有, （3-5）由（3-3）得 （3-6）比较（3-5）与（3-6）得,在上式两边同时令,由于推论1 在x 0 的充分小邻域内, 推论2 在x 0 的充分小邻域内, 记 （3-7）定理1 证 由（3-6）可得 由积分中值定理得, （3-8）其中在之间,因此定理说明,用逼近由（3-8）式还可得到逼近的误差估计范围.例2证明若f

13、 (x ) 在(a, b) 上有直到(n+3) 阶连续导数,则有证 将按泰勒公式展开,并将余项写成积分形式得 （3-9）把(3-9) 代入(3-7) 中得又阶泰勒公式为于是 （3-10）其中,且, 故对(3-10) 式的两个积分应用积分中值定理得,其中又于是有 由连续,知在的充分小邻域内 由此可见泰勒公式的近似不是无条件的,必须是在差别不大的自变量范围内,但它比微分更进步的是：当自变量与差别不是很小的时候,可以通过幂的展开,弥补这个不足.所以,幂的次数,以及,共同决定了近似程度.3.3在判断级数敛散性方面的应用泰勒公式是微积分学中的一个重要内容, 它是微分学中值定理推广.然而它在判断级数的敛散

14、性中的应用则很少提及, 事实上, 它在这方面的应用起着不可替代的作用.利用泰勒公式把一些级数的通项近似表示成幂函数的线性组合,误差为高阶无穷小.根据级数的收敛情况比较容易地判别级数的敛散性.引用级数收敛的几个性质：性质1 正项级数当时,级数发散;当 时,级数收敛.性质2 交错级数,当时,级数发散;当时,级数条件收敛;当时,级数绝对收敛.性质3 若级数和级数都收敛,则级数收敛.性质4 若级数和级数都绝对收敛,则级数绝对收敛.性质5 若级数绝对收敛,级数条件收敛,则级数条件收敛.例3 设,讨论正项级数的敛散性.解 由性质1知,当收敛,再由性质3知,级数收敛;由性质1知,当时,发散,所以此时级数也发

15、散.例4 讨论级数的敛散性,收敛时是条件收敛？还是绝对收敛？解 设,则由性质2知,当时,级数条件收敛;当时,级数绝对收敛.由性质1知,当时,级数收敛.再由性质4和性质5知,当时,级数条件收敛;当,级数绝对收敛.由例3和例4可以看出, 通过此法能有效地确定值, 从而对级数的敛散性做出判定.3.4在常微分方程数值方法中的应用.一般的,常微分方程数值方法考虑的典型问题为 (3-11)其中,是未知函数,是初值条件,而是给定的二元函数.对于问题(3-11)的各种求解方法,考虑所给求解方法的局部截断误差,进而进行精度分析是常微分方程数值方法的重要内容,由易至难的顺序精度分析的问题出现的形式有以下三种：1）

16、证明所给方法至少是几阶格式;2）证明所给方法是几阶格式;3）求所给方法是几阶格式？无论哪种形式的问题,Taylor公式在其求解过程中都起到了至关重要的作用.其中,一元函数的Taylor公式为.（其中介于与之间）这是具有Lagrange型余项的一元函数Taylor公式,具有Piano型余项的一元函数Taylor公式为.二元函数在点的Taylor公式为 .(其中,) 若考虑问题(1)的如下求解方法5 (3-12)则精度分析类型问题的三种形式为1）证明方法(3-12)至少是2阶格式; （*）2）证明方法(3-12)是2阶格式; （*）3）求方法(3-12)是几阶格式? （*）由于问题（*）的难度最大

17、所以首先分三步详细求解方法(2)的阶数：第一步,作局部化假设：设;第二步,分析局部截断误差：,而由所给公式有, (3-13)将在处进行Taylor展开得, (3-14)将在处进行Taylor展开得 (3-15)应用方程可得, （3-16）（3-17）联立(3-13)-(3-17)式得.第三步：根据局部截断误差,作出结论：由以上局部截断误差知方法(3-12)是2阶的.以上就给出了问题（*）的解答过程,对于问题（*）其证明过程完全类似于问题（*）的求解过程但已知了精度分析起来要容易许多;问题（*）与问题（*）相比虽仅仅多了“至少”两字,但其证明过程却要简单许多,具体的说,在(3-14)式中只需给出

18、2阶Taylor公式,在(3-15)式中只需给出1阶Taylor公式,最后只需证明截断误差为即可.4结论从上述实例可以看出, 泰勒(Taylor )公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用.深入探讨泰勒公式的应用, 对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果. 只要在解题中注意分析并注重归纳总结, 就能很好地运用泰勒(Taylor )公式.正确的应用Taylor公式使我们的证明和计算题变得简明快捷.用简单的例子说明其应用的方法,并在课堂教学中予以灵活运用,对我们理解和掌握抽象的泰勒公式内容将起到事半功倍的作用.但在运用泰勒公式时需注意：（1）一般将函数展开成比最高阶导数低一阶即可;（2）恰当选

19、择等式两边的.只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点,并注意归纳总结,就能比较好地运用泰勒公式.参 考 文 献1北京大学数学系,方企勤.数学分析(第一册)M.北京:高等教育出版社,1986,182- 186.2 复旦大学数学系,陈传璋,等.数学分析(上册)(第二版)M.北京:高等教育出版社,1983,187- 188.3白晓东,泰勒公式逼近精度的研究J大学数学报,2004,84邹承祖,齐东旭,孙玉柏.数学分析习题课讲义M.长春:吉林大学出社,1986,133.5同济大学数学系,高等数学（第六版）m,高等教育出版社,20076 华东师范大学数学.数学分析上册(第三版)M.北京:高等教

20、育出版社,2002：134,1387复旦大学数学系, 陈传璋, 等. 数学分析(下册) (第二版) M . 北京: 高等教育出版社, 1983, 85.8齐成辉.泰勒公式的应用J.陕西师范大学学报,2003,31:23-26.9曹吉利,刘延军.高阶微分与泰勒公式J.陕西理工学院学报,2008,24(4):76-79.10冯平,石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用J.新疆职业大学学报,2003,1111余力,刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用J.高等数学研究,2003：6.15.12高等数学（第六版）同济大学数学系,M,高等教育出版社,200713马满军.泰勒公式在判定级数及广义积分

21、敛散性中的应用J,数学理论与应用,1999,19(4),41-4314朱永生,刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题J.长春师范学院学报,2006,25(4),30-3215Dufresnne F. Gerber H.U. Risk Theory for the Compound Poisson that is Perturbed by Didussion. Insurance :Mathematics and Economics. 1999,10,15-59.16Kroll,Y.,Eddiciency analysis of deductible insurance policies.Insurance:Mathematics and Economics.1983,2,119137.17Dufresnne,F.and Gerber,H.U.,The surpluses immediately before and at ruin,and the amount of the claim causing ruin, Insurance:Mathematics and Economics.1998,7193199.致 谢感谢临沂大学理学院谢焕田老师对该篇论文的指导与修改,感谢数学与应用数学全体同学. 2011年05月01日.忽略此处.- 12 -