平稳随机过程的功率谱密度.ppt
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1、平稳随机过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度的性质二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质三、互谱密度及其性质 假如假如 x(t)满足狄利克雷满足狄利克雷 (Dirichlet)条件条件,且且绝对可积绝对可积,即即 那么那么 x(t)的傅里叶的傅里叶变换存在或者说具有频谱变换存在或者说具有频谱且同时有傅里叶逆变换且同时有傅里叶逆变换一、平稳过程的功率谱密度设有时间函数设有时间函数一般是复数量一般是复数量,其共轭函数其共轭函数1.平均功率和能量谱密度平均功率和能量谱密度等式等式:称为称为x(t)的能量谱密度的能量谱密度帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式帕
2、塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.平均功率平均功率上的平均功率上的平均功率.平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式 由给定的由给定的 x(t)构造一个截尾函数构造一个截尾函数绝对可积绝对可积它的帕塞瓦尔等式它的帕塞瓦尔等式变形得变形得称为称为 x(t)的平均功率谱密度的平均功率谱密度2.平稳过程的平均功率和能量谱密度平稳过程的平均功率和能量谱密度交换定义式中积分与均值的运算顺序交换定义式中积分与均值的运算顺序,并注意并注意到平稳过程的均方值是常数到平稳过程的均方值是常数,于是于是 平稳过程的平均功率平稳过程的平均功率该过程的该过程的均方值均方值平稳过程平稳过程 X(t)的功率谱密度的功率谱密
3、度,即即称为平稳过程称为平稳过程 X(t)的的平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式.也简称为也简称为自谱密度自谱密度或或谱密度谱密度,它是从频率这个角度它是从频率这个角度描述描述 X(t)的统计规律的最主要的数字特征的统计规律的最主要的数字特征.物理意义物理意义:表示表示 X(t)的平均功率关于频率的分布的平均功率关于频率的分布.二、谱密度的性质 性质性质1性质性质2它们统称为它们统称为维纳维纳-辛钦辛钦(Wiener-Khintchine)公式公式.说明说明1.平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,维纳维纳-辛钦公式成立辛钦公式成立.都是偶函数都是偶函数,
4、所以维纳所以维纳-辛钦辛钦公式还可以写成如下的形式公式还可以写成如下的形式:的谱表示式的谱表示式.它揭示了从时间角度描述平稳过程它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t)的统计规律和从频率角度描述的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间的统计规律之间的联系的联系.在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题法或等价的频率域方法去解决实际问题.3.维纳维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函数辛钦公式又称为平稳过程自相关函数例例1已知谱密度已知谱密度求平稳过程求平稳过程 X(t)的自相关函数和均方值的自相关函数和均方值.解解由
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