应用统计-概率与概率分布.ppt

1、应用统计第三章：概率与概率分布第三章：概率与概率分布随随机机现现象象确定性现象：确定性现象：早晨，太阳从必然从东方升起早晨，太阳从必然从东方升起苹果，不抓住必然往下掉苹果，不抓住必然往下掉边长为边长为a、b的矩形，其面积必为的矩形，其面积必为ab随机现象：随机现象：某地区的降雨量某地区的降雨量某电话交换站在单位时间内收到用户某电话交换站在单位时间内收到用户呼唤次数呼唤次数打靶射击时，弹着点离靶心的距离打靶射击时，弹着点离靶心的距离赌徒投掷色子的结果赌徒投掷色子的结果试 验(experiment)1.对试验对象进行一次观察或测量的过程对试验对象进行一次观察或测量的过程 掷一颗骰子，观察其出现的点

2、数掷一颗骰子，观察其出现的点数从一副从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸纸牌的数字或花色牌的数字或花色)2.试验的特点试验的特点可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果事件(event)1.事件：试试验验的的每每一一个个可可能能结结果果(任任何何样样本本点点集集合合)掷一颗骰子出现的点数为掷一颗骰子出现的点数为3

3、用大写字母用大写字母A，B，C，表示表示2.随机事件(random event)：每每次次试试验验可可能能出出现现也也可能不出现的事件可能不出现的事件掷一颗骰子可能出现的点数掷一颗骰子可能出现的点数事件(event)1.简单事件(simple event)：不不能能被被分分解解成成其其他他事事件组合的基本事件件组合的基本事件抛一枚均匀硬币，抛一枚均匀硬币，“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面”2.必然事件(certain event)：每每次次试试验验一一定定出出现现的的事件，用事件，用 表示表示掷一颗骰子出现的点数小于掷一颗骰子出现的点数小于73.不可能事件(impossible ev

4、ent)：每每次次试试验验一一定定不出现的事件，用不出现的事件，用 表示表示掷一颗骰子出现的点数大于掷一颗骰子出现的点数大于6样本空间与样本点1.样本空间(sample Space)一个试验中所有结果的集合，用一个试验中所有结果的集合，用 表示表示例如：在例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：间表示为：1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，在投掷硬币的试验中，正面，反面正面，反面2.样本点(sample point)样本空间中每一个特定的试验结果样本空间中每一个特定的试验结果用符号用符号 表示表示事件的概率(probability)1.事事件件A的的概概率率

5、是是一一个个介介于于0和和1之之间间的的一一个个值值，用用以以度度量量试试验验完完成成时时事事件件A发发生生的的可可能能性性大大小小，记为记为P(A)2.当当试试验验的的次次数数很很多多时时，概概率率P(A)可可以以由由所所观观察察到的事件到的事件A发生次数发生次数(频数频数)的比例来逼近的比例来逼近在在相相同同条条件件下下，重重复复进进行行n次次试试验验，事事件件A发生了发生了m次，则事件次，则事件A发生的概率可以写为发生的概率可以写为 事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率的增

6、大，出现正面和反面的频率稳定在稳定在1/2左右左右试验的次数试验的次数正面正面 /试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 0252550507575100100125125随随机机变变量量1.随机变量随机变量(random variables)2.一次试验的结果的数值性描述一次试验的结果的数值性描述3.一般用一般用 X，Y，Z 来表示来表示4.例如：例如：投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量5.根据取值情况的不同分为离散型随机根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量变量和连续型随机变量离离散散型型随随机机变

7、变量量1.离散型随机变量离散型随机变量(discrete random variables).2.随随机机变变量量 X 取取有有限限个个值值或或所所有有取取值值都都可可以逐个列举出来以逐个列举出来 x1,x2，3.以确定的概率取这些不同的值以确定的概率取这些不同的值4.离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性为0,女性为1连连续续型型随随机机变变量量1.连续型随机变量连续型随机变量(continuous random va

8、riables)2.可以取一个或多个区间中任何值可以取一个或多个区间中任何值 3.所所有有可可能能取取值值不不可可以以逐逐个个列列举举出出来来，而是取数轴上某一区间内的任意点而是取数轴上某一区间内的任意点4.连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X 00 X 100X 0离离散散型型随随机机变变量量的的概概率率分分布布1.列出离散型随机变量X的所有可能取值2.列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p

9、2，pn4.P P(X X=x xi i)=)=p pi i称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数p pi i 0 0；例例题题分分析析【例例】一一部部电电梯梯在在一一周周内内发发生生故故障障的的次次数数X X及相应的概率如下表及相应的概率如下表故障次数故障次数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布 (1)(1)确定确定确定确定 的值的值的值的值 (2)(2)求正好发生两次故障的概率求正好发生两次故障的概率

10、求正好发生两次故障的概率求正好发生两次故障的概率 (3)(3)求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率 (4)(4)最多发生一次故障的概率最多发生一次故障的概率最多发生一次故障的概率最多发生一次故障的概率 例例题题分分析析解：解：(1)由于0.10+0.25+0.35+=1 所以，=0.30 (2)P(X=2)=0.35 (3)P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4)P(X1)=0.35+0.30=0.65离散型随机变量的数学期望【引例引例】某手表厂在出厂产品中，抽查了某手表厂在出厂产品中，抽查了N100只只抽表的日走

11、时误差，其数据如下：抽表的日走时误差，其数据如下：日日走时误差（秒）走时误差（秒）-2-101234只只数（数（Nk）310172821165这时，抽到的这这时，抽到的这100只手表的平均日走时误差为：只手表的平均日走时误差为：离散型随机变量的数学期望1.离离散散型型随随机机变变量量X的的所所有有可可能能取取值值xi与与其其取取相相对对应的概率应的概率pi乘积之和乘积之和2.描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度3.记为记为 或或E(X)4.计算公式为计算公式为1.随随机机变变量量X的的每每一一个个取取值值与与期期望望值值的的离离差差平平方和的数学期望，记为方和的数学

12、期望，记为 2 或或D(X)2.描述离散型随机变量取值的分散程度描述离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为计算公式为4.方差的平方根称为标准差，记为方差的平方根称为标准差，记为 或或D(X)离散型随机变量的方差数数学学期期望望及及方方差差的的性性质质数学期望的基本性质数学期望的基本性质 1)E(c)=c,c为常数为常数;2)E(cX)=cE(X);3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);4)若若 X和和Y独立独立，则则 E(XY)=E(X)E(Y).方差的性质方差的性质1)D(C)=0,其中其中C为常数为常数。2)D(CX)=C2D(X),C为常数为常数。3)若若X和和Y独立独立，则则D(X

13、+Y)D(X)+D(Y)离散型数学期望和方差(例题分析)【例例例例】一一一一家家家家电电电电脑脑脑脑配配配配件件件件供供供供应应应应商商商商声声声声称称称称，他他他他所所所所提提提提供供供供的的的的配配配配件件件件100100个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表 次品数次品数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每每每每100100100100个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布 求该供应商次品数的数学期望和

14、标准差求该供应商次品数的数学期望和标准差求该供应商次品数的数学期望和标准差求该供应商次品数的数学期望和标准差 常用离散型概率分布二二项项试试验验(伯伯努努利利试试验验)1.二项分布与伯努利试验有关二项分布与伯努利试验有关2.伯努利试验满足下列条件伯努利试验满足下列条件一一次次试试验验只只有有两两个个可可能能结结果果，即即“成成功功”和和“失败失败”“成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一一次次试试验验“成成功功”的的概概率率为为p，失失败败的的概概率率为为q=1-p，且概率且概率p对每次试验都是相同的对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并试验是相互独立的，并可以重复进

15、行可以重复进行n次次 在在n次次试试验验中中，“成成功功”的的次次数数对对应应一一个个离离散型随机变量散型随机变量X X 二二项项分分布布1.重重复复进进行行 n 次次试试验验，出出现现“成成功功”的的次次数数的的概概率率分分布布称称为为二二项项分分布布，记记为为XB(n，p)2.设设X为为 n 次次重重复复试试验验中中出出现现成成功功的的次次数数，X 取取 x 的概率为的概率为二二项项分分布布1.对于对于P(X=x)0，x=1,2,n，有有2.同样有同样有3.当当 n=1 时，二项分布化简为时，二项分布化简为二二项项分分布布【例例】已已知知一一批批产产品品的的次次品品率率为为4%4%，从从中

16、中任任意意有有放放回地抽取回地抽取5 5个。求个。求5 5个产品中：个产品中：(1)(1)没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？(2)(2)恰好有恰好有1 1个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？(3)(3)有有3 3个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？二二项项分分布布数学期望数学期望方差方差二项分布的形态二项分布的形态n较小且较小且 很小的情况下，二项分布是有偏斜的，很小的情况下，二项分布是有偏斜的，且随且随n或或 的减小而偏斜度增大；的减小而偏斜度增大；当当 ，不论，不论n大小，二项分布是对称分布；大小，二项分布是对称分布；当当 ，随着，随着n增多，二项分布接近对称分布

17、。增多，二项分布接近对称分布。实际实际 应用中只要应用中只要 ，可将二项分，可将二项分布的形态视为对称分布。布的形态视为对称分布。二二项项分分布布二二项项分分布布【例例例例】消费者投诉某食品加工厂生产的一种速消费者投诉某食品加工厂生产的一种速消费者投诉某食品加工厂生产的一种速消费者投诉某食品加工厂生产的一种速冻饺子每袋重量不够标明的冻饺子每袋重量不够标明的冻饺子每袋重量不够标明的冻饺子每袋重量不够标明的500500克净重，然而该克净重，然而该克净重，然而该克净重，然而该厂声称其产品最多有厂声称其产品最多有厂声称其产品最多有厂声称其产品最多有1010不足这个重量。现在不足这个重量。现在不足这个重

18、量。现在不足这个重量。现在技术监督部门随机抽查了技术监督部门随机抽查了技术监督部门随机抽查了技术监督部门随机抽查了100100袋，发现其中有袋，发现其中有袋，发现其中有袋，发现其中有2020袋达不到袋达不到袋达不到袋达不到500500克，是否可认为厂方声称的小于等克，是否可认为厂方声称的小于等克，是否可认为厂方声称的小于等克，是否可认为厂方声称的小于等于于于于1010是不可靠的？是不可靠的？是不可靠的？是不可靠的？成成功功比比率率的的数数字字特特征征二二项项分分布布的的正正态态近近似似1.当当n很很大大时时，二二项项随随机机变变量量X近近似似服服从从正正态态分分布布Nnp,np(1-p)2.对

19、对于于一一个个二二项项随随机机变变量量X，当当n很很大大时时，X取取某某一一特定值的概率可用正态分布近似为特定值的概率可用正态分布近似为X X取某一区间取某一区间取某一区间取某一区间 a a,b b 的概率可用正态分布近似为的概率可用正态分布近似为的概率可用正态分布近似为的概率可用正态分布近似为二项分布的正态近似.0.1.2.30246810 xP(x)正态曲线增加的概率正态曲线增加的概率 正态曲线减少的概率正态曲线减少的概率 二项概率：矩形的面积二项概率：矩形的面积正态概率：曲线下正态概率：曲线下从从3.53.5到到4.54.5的面积的面积增加的部分与减增加的部分与减增加的部分与减少的部分不

20、一定少的部分不一定少的部分不一定相等相等相等泊泊松松分分布布1.1837年年法法国国数数学学家家泊泊松松(D.Poisson，17811840)首次提出首次提出 2.用用于于描描述述在在一一指指定定时时间间范范围围内内或或在在一一定定的的长长度度、面面积积、体体积积之之内内每每一一事事件件出出现现次次数数的的分分布布3.泊松分布的例子泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子

21、数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数一定页数的书刊上出现的错别字个数 泊泊松松分分布布 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的平均数e=2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的次数泊泊松松分分布布【例例例例】假假定定某某航航空空公公司司预预订订票票处处平平均均每每小小时时接接到到4242次次订订票票电电话话，那那么么1010分分钟钟内内恰恰好好接接到到6 6次次电电话的概率是多少？话的概率是多少？解：解：解：解：设设X X=1010分钟内航空公司预订票处接到的电话次数分钟内航空公司预

22、订票处接到的电话次数 1.数学期望：E(X)=2.方差：D(X)=超超几几何何分分布布1.采采用用不不重重复复抽抽样样，各各次次试试验验并并不不独独立立，成功的概率也互不相等成功的概率也互不相等2.总总体体元元素素的的数数目目N很很小小，或或样样本本容容量量n相相对对于于N来来说说较较大大时时，样样本本中中“成成功功”的的次次数则服从超几何概率分布数则服从超几何概率分布3.概率分布函数为概率分布函数为超超几几何何分分布布超超几何分布的数学期望和方差几何分布的数学期望和方差有限总体有限总体校正系数校正系数【例例】某企业年终进行财务清查，已知在全某企业年终进行财务清查，已知在全某企业年终进行财务清

23、查，已知在全某企业年终进行财务清查，已知在全年年年年100100个业务帐单中，个业务帐单中，个业务帐单中，个业务帐单中，3030有拖欠款项。现随有拖欠款项。现随有拖欠款项。现随有拖欠款项。现随机抽取机抽取机抽取机抽取5 5个帐单，其中有个帐单，其中有个帐单，其中有个帐单，其中有2 2个拖欠款的概率是个拖欠款的概率是个拖欠款的概率是个拖欠款的概率是多大？多大？多大？多大？超超几几何何分分布布解：解：应用超几何分布应用超几何分布应用二项分布应用二项分布超超几何分布的数学期望和方差分别为：几何分布的数学期望和方差分别为：几何分布的数学期望和方差分别为：几何分布的数学期望和方差分别为：超几何分布中比率

24、的数字特征常常用用连连续续型型分分布布连续型随机变量的概率分布1.连连续续型型随随机机变变量量可可以以取取某某一一区区间间或或整整个个实实数数轴轴上的任意一个值上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率通常研究它取某一区间值的概率5.用用概概率率密密度度函函数数的的形形式式和和分分布布函函数数的的形形式式来来描描述述概率密度函数probability density function1.设设X为为一一连连续续型型随随机机变变量量，x 为为任任意意实实数数，X

25、的概率密度函数记为的概率密度函数记为f(x)，它满足条件它满足条件2.f(x)不是概率不是概率概率密度函数 密度函数密度函数 f(x)表示表示X 的所有取值的所有取值 x 及其频数及其频数f(x)值值(值值,频数频数)频数频数f f(x x)a ab bx x概率密度函数 在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中画画出出f(x)的的图图形形，则则对对于于任任何何实实数数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从是该曲线下从x1 到到 x2的的面积面积f(x)xab概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积分布函数(distribution function)1.连

26、连续续型型随随机机变变量量的的概概率率可可以以用用分分布布函函数数F(x)来表示来表示2.分布函数定义为分布函数定义为3.根据分布函数根据分布函数，P(aXb)可以写为可以写为分布函数与密度函数的图示1.密度函数曲线下的面积等于密度函数曲线下的面积等于12.分布函数是曲线下小于分布函数是曲线下小于 x0 的面积的面积f(x)xx0F F(x x0 0 )连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2.方差方差正正态态分分布布1.由由C.F.高斯高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布作

27、为描述误差相对频数分布的模型而提出的模型而提出2.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布3.许多现象都可以由正态分布来描述许多现象都可以由正态分布来描述 4.可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布例如：例如：二项分布二项分布5.经典统计推断的基础经典统计推断的基础x xf f(x x)概概率率密密度度函函数数f(x)=随机变量随机变量 X 的频数的频数 =正态随机变量正态随机变量X的均值的均值 =正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 =3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值随机变量的取值(-x )正正态态分分布布函函数数的的性

28、性质质图形是关于图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在对称钟形曲线，且峰值在x=处处均均值值 和和标标准准差差 一一旦旦确确定定，分分布布的的具具体体形形式式也也惟惟一一确确定定，不不同同参参数数正正态态分分布布构构成成一一个个完完整整的的“正正态态分分布族布族”均均值值 可可取取实实数数轴轴上上的的任任意意数数值值，决决定定正正态态曲曲线线的的具具体体位位置置；标标准准差差决决定定曲曲线线的的“陡陡峭峭”或或“扁扁平平”程程度度。越越大大，正正态态曲曲线线扁扁平平；越越小小，正正态态曲曲线线越越高陡峭高陡峭当当X X的的取取值值向向横横轴轴左左右右两两个个方方向向无无限限延延伸伸时时，曲曲线线

29、的的两两个个尾尾端端也也无无限限渐渐近近横横轴轴，理理论论上上永永远远不不会会与与之之相交相交正正态态随随机机变变量量在在特特定定区区间间上上的的取取值值概概率率由由正正态态曲曲线线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1 和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响xf(x)CAB =1/2=1/2 =1 =1 正正态态分分布布的的概概率率a ab bx xf f(x x)概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积标标准准正正态态分分布布3.标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数1.随机变量具有均值为

30、随机变量具有均值为0，标准差为，标准差为1的正态分布的正态分布2.任任何何一一个个一一般般的的正正态态分分布布，可可通通过过下下面面的的线线性性变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布4.标准正态分布标准正态分布的分布函数的分布函数X X 一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布 Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 标准正态分布标准正态分布标标准准正正态态分分布布表表的的使使用用对于标准正态分布，即对于标准正态分布，即ZN(0,1)，有有P(a Z b)b a P(|Z|a)2 a 1对对于于负负的的 z，可可由由 (

31、-z)z 得得到到对于一般正态分布，即对于一般正态分布，即XN(,)，有有标准化的例子标准化的例子 P(5 X 6.2)X 55 一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布6.2 Z Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 0.120.12.0478.0478.0478标准化的例子标准化的例子P(2.9 X 7.1)5 =102.97.1X一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布0 0 =1=1-.21-.21Z Z.21.21.1664.1664.

32、1664.0832.0832.0832.0832.0832.0832正正态态分分布布【例例例例】假假假假定定定定某某某某公公公公司司司司职职职职员员员员每每每每周周周周的的的的加加加加班班班班津津津津贴贴贴贴服服服服从从从从均均均均值值值值为为为为5050元元元元、标标标标准准准准差差差差为为为为1010元元元元的的的的正正正正态态态态分分分分布布布布，那那那那么么么么全全全全公公公公司司司司中中中中有有有有多多多多少少少少比比比比例例例例的的的的职职职职员员员员每每每每周周周周的的的的加加加加班班班班津津津津贴贴贴贴会会会会超超超超过过过过7070元元元元，又又又又有有有有多多多多少少少少比比比比例的职员每周的加班津贴在例的职员每周的加班津贴在例的职员每周的加班津贴在例的职员每周的加班津贴在4040元到元到元到元到6060元之间呢？元之间呢？元之间呢？元之间呢？解：解：解：解：设设=5=50 0，=10=10，X XN N(50,10)(50,10)经经验验法法则则正态随机变量落入其均值左右各正态随机变量落入其均值左右各1个标个标准差内的概率是准差内的概率是68.27正态随机变量落入其均值左右各正态随机变量落入其均值左右各2个标个标准差内的概率是准差内的概率是95.45正态随机变量落入其均值左右各正态随机变量落入其均值左右各3个标个标准差内的概率是准差内的概率是99.73