概率论与数理统计期末复习试题.doc

1、概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X为连续型随机变量，则PX=1=( ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为( ).3、若随机变量X的分布律为PX=k=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( ).4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则E（XY+1-Y）=（ ） ，D（2Y-X+1）=（ ）.5、已知随机变量XN(,2),(X-5)/4服从N(0,1),则=( );=( ).6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：X Y 1230.150.154AB且X与Y相互独立。则A=( ),B=(

2、).7、设X1,X2,Xn是取自均匀分布U0,的一个样本，其中0,是一组观察值，则的极大似然估计量为( ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.2、已知随机变量X的概率密度为其中0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P-1X1/); (3)F(1). 3、设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4且，求(1)

3、; (2); (3).4、若XN(,2),求, 2的矩估计.三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量的联合密度函数为：试求: 常数C ； , ； 与是否相互独立？ ,； ,.附：（1.96）=0.975； （1）=0.84； （2）=0.9772t0.05(9)= 1.8331 ; t0.025(9)=2.262 ; ， t0.05(36)= 1.6883 ; t0.025(36

4、)=2.0281 ; ， 概率论与数理统计期末复习试题一参考答案一、填空题（每空2分，共20分）1、0 ； 2、14/50 或7/25 ；3、81/130 ；4、1，17 ；5、5，4 ；6、0.35，0.35 ；7、X(n)二、计算题（每题12分，共48分）1、解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B| A1)=0.9 ,P(B| A2)=0.3,P(B| A3)=0.1所以,.6(2) 122、解：（1）由归一性： 4（2）8（3） 123、解：（1）4（2）8（3）1

5、24、解：（1）E(X)= 令= 所以的矩估计为6（2）D(X)=E(X2)-E(X)2 又E(X2)=D(X)= -=所以2的矩估计为12三、解答题（12分）解：提出假设检验问题：H0: =70, H1 ：70,t(n-1),其中n=36,=66.5,s=15,=0.05,t/2(n-1)=t0.025(35)=2.03612所以,接受H0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分.四、综合题（每小题4分，共20分）解：(1)所以,c=9/(e3-1) 4(2)所以, 2同理, 4(3)因为: 所以,X与Y相互独立. 4(4) 23 4 (5) 2 3 4概率论与

6、数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P（A）=1/3，P（B）=1/4，P（AB）=1/2.求P（AB）、P（A-B）.2、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？3、已知随机变量X的密度函数为(1)求A.（2）X的分布函数.4、若，为相互独立的分别服从上均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数.5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.6、某单位职工每天的医疗费服从正态

7、分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间.7、设总体的密度函数为其中是未知参数，且。求的矩估计与极大的似然估计量。二、解答题（9分）某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（）三、综合题（15分）设随机变量具有下列概率密度(1) 求。（2）与是否独立？为什么？（3）求。四、证明题（6分）设随机变数具有对称的分布密度函数，证明：对任意的有。.附：, 概率论与数理统计期末复习试题二答案一、计算题（

8、每题10分，共70分）1、解：P（AB）= P（A）+P（B）- P（AB）=1/12，P（A-B）= P（A）-P（AB）=1/4 。2、解;用表示“从甲袋中任取一球为红球”， 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。则。由全概率公式3、解：（1）由得A=1。（2）4、解：显然的联合概率密度为；否则，。先求的分布函数。当时，当时，当时，当时，所以，的分布密度函数5、解：设表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则， 。6、解：由于未知，故的0.95双侧置信区间为代入数据得，得的0.95双侧置信区间观测值为。7、解：设是取自总体的样本。因为令解得的矩估计为。由 ，解得的极大的似然估计为。二、解答题

9、（9分）解： 由于已知，用检验。算得由表查得。由于所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著。三、综合题（15分）（1）由得。（2）的概率密度 ，否则；的边缘概率密度 ，否则。由于，所以与不独立。（3）四、证明题（6分）证： = =概率论与数理统计期末复习题三一、计算题（每题10分，共70分）1、设P（A）=1/4，P（A-B）=1/8，且A、B独立。求：P（B）、P（AB）。2、某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2 。甲的中奖率为0.1, 乙的中奖率为0.3 。任购1张彩票，求中奖的概率。3、设随机变数X的分布函数为（1）求常数。（2）求X的密度函数。4、某镇年满1

10、8岁的居民中受过高等教育的10%年收入超过10万。今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中不少于11%的人年收入超过10万的概率。5、设总体的密度函数为其中是未知参数，且。求的矩估计与极大的似然估计量。6、某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间，假设处理每笔业务所需时间服从正态分布，现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为（min）。由此算出min，min，求处理每笔业务平均所需时间的双侧0.95置信区间。7、设随机变量与独立，且服从上的均匀分布，服从参数为1的指数分布，试求的概率密度。二、解答题（9分）某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均

11、成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（）三、综合题（15分）设随机变量具有下列概率密度(1) 求。（2）与是否独立？为什么？（3）求。四、证明题（6分）设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有 P（。附:, 概率论与数理统计期末复习题三参考答案一、计算题（每题10分，共70分）1、解：由1/8=P（A-B）= P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）得：P（B）=1/2P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）= P（A）+P（B）-P（A）P（B）=5/8 。2、解：设A1

12、=“任购1张彩票，购到甲两种彩票”， A2=“任购1张彩票，购到乙两种彩票”， B=“任购1张彩票，购到中奖彩票”。则P（A1）=3/5， P（A0）=2/5，P（B|A1）=0.1， P（B|A2）=0.3 P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=9/50。3、解：（1）因为，所以（2）X的密度函数4、解:设表示抽取的1600人年收入超过10万的人数，则，。5、解：，令，故的矩估计量为。另，似然函数对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6、解：由于未知，故的0.95双侧置信区间为其中由表查得。7、解：显然的联合概率密度为先求的分布函数。当时，当时，当时，所以，的分布密

13、度函数 二、解答题（9分）解： 由于已知，用检验。算得由表查得。由于所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著。三、综合题（15分）解：（1）由得。（2）的概率密度为，故。的概率密度当时当时故的概率密度：。由于，所以与不独立。（3）四、证明题（6分）证明：概率论与数理统计期末复习题四一、计算题（共66分） 1、（8分）设事件与互不相容，且，求下列事件的概率：。2、（9分）某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2。甲的中奖率为0.1， 乙的中奖率为0.3 。任购1张彩票，求中奖的概率。3、（10分）设随机变量X的分布函数为（1）求常数。（2）求X的密度函数。4、（12分）设

14、随机向量具有下列概率密度 (1) 求。（2）与是否独立？为什么？（3）求。5、（11分）设总体的密度函数为其中是未知参数，且。求的矩估计与极大似然估计量。6、（8分）设是取自总体X的样本。X的概率密度为写出联合概率密度。7、（8分）设随机变量与独立，且服从上的均匀分布，服从参数为1的指数分布，试求的概率密度。二、应用题（共34分）1、（9分）某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。2、（8分）若

15、某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试用切比雪夫不等式估计及格率至少为多少？ 3、（8分）某厂生产的灯泡寿命（小时）近似服从正态分布N(8000, 1600), 抽取16个灯泡的样本。求平均寿命小于7975小时概率。 4、（9分）已知维尼纶纤度在正常条件下服从。某日抽取5根维尼纶，计算得样本均值与样本方差分别为。问这一天纤度总体标准差是否正常？（）附: ， 概率论与数理统计期末复习题四参考答案一、计算题(共66分) 1、（8分）与互不相容，所以，；由于与互不相容，这时，从而；由于，从而。2、（9分）设A1=“购到甲种彩票”， A2=“购到乙两种彩票”， B=“购到中奖彩票”。则P（A1

16、）=3/5， P（A0）=2/5，P（B|A1）=0.1， P（B|A2）=0.3。P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=9/50。3、（10分）（1）因为，所以 （2）X的密度函数4、（12分）（1）由得。（2）的概率密度为，故。的概率密度当时当时故的概率密度。由于，所以与不独立。（3） 5、（11分），令，故的矩估计量为。另，似然函数对数似然函数为解得的最大似然估计量为。 6、（8分）联合概率密度7、（8分）显然的联合概率密度为先求的分布函数。当时，当时，当时，所以，的分布密度函数二、应用题(共34分)1、（8分）设应预备n件，并设X表示某地区10000人需要件数

17、，则XB（10000，0.8），则由中心极限定理得则（件）。2、（8分）用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X) = 80，方差D(X) = 100，所以P60 X 100 P60 X 100= P|X 80| 20所以及格率至少为75%。3、（8分）设灯泡寿命总体为X，因为XN(8000，1600), n=16，所以样本均值 ， 。4、（9分）解 . 计算查表得。由于，所以拒绝，即认为这一天纤度总体标准差与0.048有显著差异。概率论与数理统计期末复习题五及答案一计算题（本题满分30分，共有5道小题，每道小题6分） 1设、是随机事件，求 解答：由于，所以所以， 2设连续型随机变量的密度函

18、数为 ，求与 解：因为 所以， ，所以， 3袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，求这2只球的颜色不相同的概率 解答： 设，则 4设随机变量服从区间上的均匀分布，求 解答：由于随机变量服从区间上的均匀分布，所以，所以，所以， 5设总体的密度函数为为未知参数，是从总体中抽取的一个样本，求的矩估计量 解答： 得方程，解方程，得将替换成，得的矩估计量为二计算题（本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分） 6已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者并且某学校学生中男、女生的比例为21，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？ 解答：设，

19、则由Bayes公式，得 7设连续型随机变量的分布函数为 试求：. 系数与；. 概率；. 随机变量的密度函数 解： . 由，得 解方程组 ，得，所以， . . 的密度函数为 8设二维随机变量服从平面区域上的均匀分布 . 试求二维随机变量的联合密度函数； . 求随机变量及各自的边缘密度函数； . 求，及； 判断随机变量与是否相互独立？是否不相关？ 解： 平面区域的面积为，所以，二维随机变量的联合密度函数为 . 当时， 所以，随机变量的边缘密度函数为 ；同理，随机变量的边缘密度函数为 . 由对称性，得 由于，所以，随机变量与不相关但是， 所以，随机变量与不相互独立 9设随机变量，试求随机变量的密度函

20、数 解： 随机变量的密度函数为 设随机变量的分布函数为，则有 . 如果，即，则有； . 如果，则有 即所以， 即 10某单位有200台分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话假定每台分机是否使用外线是相互独立的，试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线，才能以99%以上的概率保证分机使用外线时不等待（已知，其中是标准正态分布的分布函数） 解： 设，则 设：该单位某时刻使用外线的分机数则 设需要给单位安装条外线，则要使分机使用外线时不等待，必须，所以， 由题意，即 查表，得所以， 因此，至少要装18条外线，才能满足要求三计算题（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分） 11设总体的密度

21、函数为 ，其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本 . 求未知参数的矩估计； . 求 解： . ，所以， ，将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为 . ，而 所以， 12设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布令随机变量 试求随机变量的密度函数 试求 解： 由题意，得 ， 设随机变量的分布函数为，则 当时，； 当时， 作极坐标变换，则有 所以，随机变量的分布函数为所以，随机变量的密度函数为 13已知总体的分布律为其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值 解： 所以当样本观测值为时，似然函数为 所以，令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为并且是似然函

22、数在区间上的唯一驻点因此此时似然函数的最大值点为即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为概率论与数理统计期末复习题六及答案一（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分） 1掷2颗均匀的骰子，令：， 试求，； 判断随机事件与是否相互独立？ 解： 掷2颗骰子，共有种情况（样本点总数） 事件含有个样本点，故 事件含有个样本点，故 事件含有个样本点，故 由于，所以随机事件与相互独立 2设连续型随机变量的密度函数为，求： 常数； 概率 解： 由密度函数的性质，得 所以，得即随机变量的密度函数为 3设随机变量和的数学期望分别是和，方差分别是和，而相关系数为 求及； 试用切比雪夫（Chebyshev）不

23、等式估计概率 解： 令，则有 根据切比雪夫不等式，有 4在总体中随机抽取一个容量为的样本，求（附，标准正态分布的分布函数的部分值： 解 由于总体，而且样本量，所以所以， 5设总体的二阶矩存在，记，且与都未知，是从总体中抽取的一个样本，求与的矩估计量 解：记 则有 ，将与分别用样本的样本均值与样本的二阶原点矩来替换，得到与的矩估计量为 ，二（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分） 6甲、乙、丙三人独立地破译一份密码已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为、 求密码能被破译的概率 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率 解 设， 则，因此， ，则 ，所以 注意到，所

24、求概率为 7某学生参加一项考试，他可以决定聘请名或者名考官各位考官独立地对他的成绩做出判断，并且每位考官判断他通过考试的概率均为，如果至少有位考官判断他通过，他便通过该考试试问该考生聘请名还是名考官，能使得他通过考试的概率较大？ 解：设，则 由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验令表示判断他通过考试的考试人数，则，因此 ， 若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验所以， 若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验所以， 所以聘请位考官，可以使该考生通过考试的概率较大 8设二维随机变量的联合密度函数为 求，及； 分

25、别求出求与的边缘密度函数； 判断随机变量与是否相关？是否相互独立？ 解： 当时， 所以，随机变量的边缘密度函数为 ； 当时， 所以，随机变量的边缘密度函数为 由于，所以与不相关 ，所以与不独立 9设随机变量与相互独立，都服从标准正态分布，令 用求独立随机变量和的密度函数的计算公式（卷积公式），求出随机变量的密度函数 判断随机变量是否服从正态分布，并指出与 解：随机变量与的密度函数分别为 设随机变量的密度函数为，则有 作变换，则，当时，；当时，所以 因此，所以服从正态分布，且， 10某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为元、元、元和元并且这种快餐套餐售出的概率分别为、和若某天该快餐

26、店售出套餐份，试用中心极限定理计算： 该快餐店这天收入至少为元的概率 元套餐至少售出份的概率（附，标准正态分布的分布函数的部分值： 解： 设表示售出一份套餐的收入，则的分布律为则 ， ， 令表示出售的第套快餐套餐的收入，则独立同分布，且的分布都与的分布相同则 设表示售出的份套餐中套餐的份数，则则 三（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分） 11设随机变量与相互独立，且服从同一分布的分布律为 又设， 求出二维随机变量的联合分布律及随机变量及各自的边缘分布律； 求、及 解： 由与的取值都是，可知与的取值也是 ； ； ； ； ； ； ；联合分布律表格略因此二维随机变量的联合分布律及的边缘分布律为 ， 12设总体，是取自该总体中的一个样本 求的极大似然估计量； 求的极大似然估计量 解： . 总体的密度函数为 所以似然函数为 所以，取对数，得 所以， 解方程，得，所以的极大似然估计量为 由于，并且的极大似然估计量为又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为word文档 可自由复制编辑