1、1. 第二章2. 设随机变量的分布律为：求c的值。解：由分布律的性质：，得所以有 3. 一口袋中装有m个白球，n m个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，此时取出了个白球，求的分布律。解：由题设知，随机变量的可能取值为：，且事件表示一共取了k +1次球，前k次取到的都是白球，第k +1次取到的是黑球。所以有4. 设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为，现进行重复试验，求下列的分布律。（1） 将试验进行到出现一次成功为止，以表示所需的试验次数（几何分布）（2） 将试验进行到出现k次成功为止，以表示获得k次成功时的试验次数（巴斯卡分布）解：（1）由题设知，随机变量的
2、可能取值为：，且事件表示一共进行了n 次试验，且前n 1次均是失败，而第n 次成功。所以有（2） 由题设知，随机变量的可能取值为：，且事件表示一共进行了n 次试验，且前n 1次中成功了k 1次，而第n 次也成功。所以有5. 求k使得二项分布达到最大值。解：假设有则有：所以当为整数时，或时，的值最大；当不是整数时，（表示不超过x的最大整数）时，的值最大。6. 设某商店销售某商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初进货多少才能保证当月不脱销的概率为0.999。解：假设在月初进货量为x时，才能保证当月不脱销的概率为0.999。则由题意有即由此得到x = 16。7. 设随机变量具有对称的密度函数，即
3、，证明对任意的，有（1） ；（2） ；（3） 。证明：（1） (=1-F(a)（2）因为 所以由（1）知，有（3） 因为 所以由（2）知，有8. 设都是一元分布函数，证明也是分布函数。证明：令，要证是分布函数，只要证满足以下性质既可：（1） 非降函数；（2） ；（3）是右连续函数。因为都是一元分布函数，所以满足上面的性质，又因为，所以有是非降函数即是分布函数9. 设随机变量的分布函数为，求常数及密度函数。解：由分布函数的性质有：由此得到：。所以密度函数是：10. 设随机变量的密度函数为求c，使得。解：因为，所以有11. 确定下列函数中的常数A，使之成为密度函数：（1） ；（2） （3） 解：（
4、1） 由 ，有验证下列函数 （2） （3） 12. 某城市每天用电量不超过百万度，以表示每天的耗电量（即用电量除以百万度），它具有密度函数若该城市每天的供电量仅80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如果每天供电量80万度呢？解：若该城市每天的供电量仅80万度，则供电量不够需要的概率是：若该城市每天供电量为90万度，则供电量不够需要的概率是：13. 某城市每天用电量不超过百万度，以表示每天的耗电量（即用电量除以百万度），它具有密度函数若该城市每天的供电量仅80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如果每天供电量80万度呢？解：若该城市每天的供电量仅80万度，则供电量不够需要的概率是：若该城市每天
5、供电量为90万度，则供电量不够需要的概率是：14. 设随机变量服从正态分布，（1） 求；（2） 求常数a，使；（3） 求常数a，使。解： 因为，所以，则有（1）又因为 ，所以有（3）又因为 ，所以15. 设随机变量服从上的均匀分布，求的密度函数解： 易知的取值范围是，对任意的，有所以的密度函数为16. 设随机变量服从上的均匀分布，求的密度函数。解：先求的分布函数当时，有所以的密度函数是：17. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分记）服从指数分布，其密度为：某顾客若等待时间超过10分，他就离开，一个 月他去银行5次，以表示一个月内他未等待服务而离开的次数。写出的分布律，并求。解：设顾客的等
6、待时间为，则有： 所以，即1. 第三章2. 在袋中装有个球，其中有个红球，个白球，且，现从中任取个球（），设取出的红球数为，取出的白球数为，求的分布律与边缘分布律。解：的分布律为：边缘分布律为：3. 设离散型随机变量的联合分布律为：，求边缘分布律。解：关于的边缘分布律为：即服从参数为的Poisson分布。关于的边缘分布律为：即服从参数为的Poisson分布。4. 设随机向量的密度函数为：求中至少有一个小于的概率。解：设为事件“中至少有一个小于”。则有所以中至少有一个小于的概率为：5. 设随机向量的密度函数为：求常数c及求边缘密度函数。解：由得 关于的边缘密度函数为：关于的边缘密度函数为：6.
7、设随机向量在由曲线：所围成的区域内服从均匀分布，写出的联合密度函数与边缘密度函数。解：因为区域：的面积是，所以的联合密度函数为：关于的边缘密度函数为：关于的边缘密度函数为：7. 设随机向量的联合密度函数为：求：在的条件下，的分布函数与密度函数。解：因为所以在的条件下，的分布函数为：当时，即在的条件下，的分布函数为：在的条件下，的密度函数为： 设是相互独立的随机变量，且服从上的均匀分布，求方程有实根的概率。解：方程有实根的充要条件是：所以方程有实根的概率为：设随机向量的联合密度函数为：求的密度函数。解：由随机变量和的密度公设随机向量的联合密度函数为：求的密度函数。解：的分布函数为：当时，所以的密
8、度函数为：设随机变量与相互独立，且服从同一的参数为的指数分布，求的密度函数。解： 的分布函数当时，所以的密度函数为：设随机变量与相互独立，且服从同一正态分布，证明：与相互独立。证明：令则有所以与的联合密度为：由上式易知与相互独立。设随机变量与相互独立，且服从同一指数分布，其密度函数为：证明：与相互独立。证明：令则有所以与的联合密度为：又因为的密度函数为：的密度函数为：所以与相互独立18. 设某种电子装置的输出是随机变量，它的密度函数为：现对它的输出进行了5次独立的测量，得到测量值。（1） 求的分布函数；（2） 求。解：（1）的取值范围为，其分布函数为：当时，所以的分布函数为： 第四章设随机变量
9、具有分布率: ,求解: ，则 设随机变量的分布律为 说明的数学期望不存在.解： 由于，而级数发散，故级数不绝对收敛，由数学期望的定义知，的数学期望不存在.4.某人的一串钥匙有把,其中只有一把能开大门,他随意地试用这些钥匙.求试用次数的数学 期望与方差.假定: (1)把每次试用过的钥匙分开;(2)每次试用过的钥匙不分开.解：设试用次数为 ，表示第次打开门这一事件，（1）的分布率为 则（2）因为 是一列相互独立的事件，所以的分布率为则5.设随机变量的密度函数为求：（1）；（2）的数学期望。 解：（1）（2） 6.设随机变量的密度函数为求.解：因为 所以7.设在时间内经搜索发现沉船的概率为求发现沉船
10、所需的平均搜索时间.解：设发现沉船所需时间为,其分布函数记为，故的密度函数为 ，所以设随机变量，令求.解：因为 ， 的密度函数则.一工厂生产某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，密度函数为 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.解：设工厂出售一台设备赢利元，则的分布率为 故 13. 设随机变量在上服从均匀分布，在上服从均匀分布，且相互独立，试求解：因为在上服从均匀分布，在上服从均匀分布，所以， 相互独立，因此15.设是独立同分布的随机变量，记，.试证：（1）；（2）；（3）.
11、证明：（1）因为是独立同分布的随机变量，故（2）（3）因为所以 16.设随机变量有密度函数求，并问与是否相关？解： 因为,所以与是不相关的.18.已知随机向量的协方差矩阵为，求的相关系解：因为，所以 故 21.设，与独立同分布，令，试求的相关系数(其中为非零常数).解 :因为与独立，所以.则故 25.设为独立同分布的随机变量，服从柯西分布即其密度为其中，为常数。已知柯西分布的特征函数为，证明：也服从柯西分布.解：因为为独立的随机变量，由定理知随机变量的特征函数为，其中则的特征函数为，由唯一性定理知也服从柯西分布.27. 设随机变量服从二维正态分布，它的均值向量为，协方差矩阵为，试求的密度函数及
12、特征函数.解：记，则 ，故的密度函数为的特征函数为 第五章1.（马尔可夫大数定律）设为随机变量序列，满足马尔可夫条件：证明：对任给的，有证明：对任给的，有切比雪夫不等式得因为，所以2. 设相互独立得随机变量序列满足：，证明当时，满足大数定律。证明：，当时， ，因此满足马尔可夫条件，故当时，满足大数定律。3. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最接近的整数。舍入误差是独立的且在上均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解：设第个加数的舍入误差为，则为独立的且在上均匀分布的随机变量列。（
13、1）1500个数相加，其误差总和为，由中心极限定理知 （2）设）最多可有个数相加其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90，即也即 查表可得由此可计算得最多可有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。6. 某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每部分机是否使用外线是相互独立的，并且每时刻每部分机使用外线通话的概率为0.05，问总机需要多少外线才能以不低于0.90的概率保证每个分机使用外线？解：设总机需要外线才能以不低于0.90的概率保证每个分机使用外线，令则相互独立且同服从二项分布，易知，由条件知，根据中心极限定理 查表可知， ，故总机至少需要14外线才能以
14、不低于0.90的概率保证每个分机使用外线。第七章3.设总体具有密度函数是其样本,求的矩估计.解 ，由矩法令，解得4.设为其样本.求和的矩估计.解因 ，由例7-1，令解得5.设总体的密度函数(或分布律)为为其样本,求下列情况下的极大似然估计.似然函数为似然方程为解得似然函数为似然方程为解得6.设总体的密度为其中未知，为其样本,求的矩估计和极大似然估计.今得样本观察值0.30,0.80,0.27,0.35,0.62,0.55,求的矩估计值和极大似然估计值.解，由矩法令，解得矩估计，矩估计值为似然函数为似然方程为解得极大似然估计，极大似然估计值9.设总体具有密度函数其中未知,为其样本.求的极大似然估
15、计.解似然函数为似然方程为解得10.设总体有密度函数其中未知,为其样本.求的矩估计和极大似然估计.解，令，解得矩估计似然函数为故的极大似然估计为11.设总体为其样本. 求,使为的无偏估计; 求,使为的无偏估计.解 ，故 所以12.设是参数的无偏估计,且有证明不是的无偏估计.解.13.设从均值为,方差为的总体中,分别抽取容量为的两个独立样本.和分别是两样本的均值.试证,对于任意都是的无偏估计,并确定常数使达到最小.解即在条件下,求的最小值.令，求导得 解得，14.设分别自总体和中抽取容量为的两个独立样本.其样本方差分别.试证,对于任何常数都是的无偏估计,并确定常数求求达到最小.解.利用 得，所以
16、即在下，求的最小值,求得，.15.设总体的密度函数为16.设总体的密度函数为为其样本,试证及都是参数的无偏估计,问哪个较有效?解考虑一般情形，设为样本，比较和的密度为的密度为由此算得又有故较有效，实际上是的最小方差无偏估计17.设总体服从指数分布,其密密函数为 为其样本. 求的极大似然估计； 求,使为的无偏估计； 求的置信水平为的双侧置信区间.解 (1) 似然函数为 似然方程为 解得(2) 由此得(3) 因 ，由得的置信水平为的双侧置信区间为18.随机地从一批零件中抽取16个,测得长度(单位:cm)为2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.1
17、02.132.112.142.11设零件长度的分布为正态,试求总体均值的90%的置信区间:若；若未知.解 设为零件长度，则(1) 当已知时，的90%的置信区间为(2) 当未知时，的90%的置信区间为22.随机地从批导线中抽取4根,并从批导线中抽取5根测得其电阻为A批导线0.1430.1420.1430.137B批导线0.1400.1420.1360.1380.140设测试数据分别服从正态分布和,且它们相互独立,又未知,试求的0.95置信区间.解 的0.95置信区间为经计算得查表得 ，最后算得区间是.第八章1.某电器元件平均电阻值一直保持2.64,今测得采用新工艺生产36个元件的平均阻值为2.6
18、1,假定在正常条件下,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻的标准差.已知改变工艺前的标准偏差为0.06,问新工艺对产品的电阻值是否有显著性影响?解 设为新工艺生产的电器元件的电阻值，则,.要检验的假设为 vs 检验统计量为，拒绝域为经计算得因，故拒绝，即新工艺对产品的电阻值有显著影响2.一种元件,要求其使用寿命不得低于1000(小时).现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时).已知该种元件寿命服从标准差(小时)的正态分布,试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格.解 设为元件的使用寿命，则,要检验的假设为vs 检验统计量为，拒绝域为经计算得 因，拒绝，在显著
19、性水平0.05下这批元件不合格3.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态,其中(kg/cm2),现在一批这种钢索的容量为9的一个样本测得断裂强度平均值为,与以往正常生产的相比,较大20(kg/cm2).设总体方差不变,问在能否认为这批钢索质量显著提高?解 设为钢索的断裂强度，且,.要检验 vs 检验统计量为，拒绝域为经计算得 因，不拒绝,这批钢索质量没有显著提高.8.为校正试用的普通天平,把在该天平上称为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5, 99.2假设在天平上
20、称量的结果服从正态,问普通天平称量结果与标准天平称量结果有无显著差异?解 设为标准天平称量结果，则要检验vs 检验统计量为，拒绝域为经计算得因 ，接受，普通天平称量结果与标准天平称量结果无显著差异9.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不得超过0.9,现从该产品中抽取19个样本,得样本标准差,当时,可否认为标准差变大?(假定零件尽寸服从正态分布).解 设为零件尽寸, 则要检验 vs 检验统计量为，拒绝域为经计算得因 ，拒绝，认为标准差变大20.一骰子掷了120次,得下列结果:点数123456出现次数232621201515问这个骰子是否均匀?解 设为抛骰子出现的点数，则要检验的假设为 检验
21、统计量为，拒绝域为.实际计算结果为 因,接受,认为这个骰子是均匀的080.13538.118 0.0017116 0.2706 16.236 0.0034217 0.2706 16.236 0.03593 10 0.1804 10.824 0.062746 0.0902 5.412 0.063953 0.0529 3.174 0.009560160 0.177121.某电话站在一小时内接到电话用户的呼叫次数按每分钟记录如下表:呼叫次数01234567频数81617106210试问这个分布能否看作泊松分布?解 设为电话站在一小时内接到的呼叫次数,则要检验的假设为 在之下,的极大似然估计为 .由于才出现3次,故将的取值分为6组,计算,其中 计算结果见下表对于,因,接受,电话站在一小时内接到的呼叫次数服从Poisson分布word文档 可自由复制编辑
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