1、第4章 机械振动4.1基本要求1掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。简谐振动的运动方程 2振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。3周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需
2、的时间。4频率 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即5圆频率 作简谐振动的物体在秒内完成振动的次数，它与频率的关系为6相位和初相位 简谐振动的运动方程中项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位7简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。弹性势能 动能 弹簧振子系统的机械能为 8阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。9受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。10共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。4.3基本规律1一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性
3、变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。图4.1 弹簧振子的动能和势能随时间的变化2简谐振动的合成若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即合振动仍是一个角频率为的简谐振动。合位移合振动的振幅合振动的初相振动加强：， 振动减弱：， 当取其他值时 若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随
4、时间周期性变化的振动。若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。4.4学习指导1重点解析简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型：（1）已知简谐振动表达式求有关物理量（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式加以比较，结合有关公式求得各物理量。对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的
5、三个特征量、,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。其中角频率由系统的性质决定,.振幅A可由初始条件求出，；或从振动曲线上直接看出。初相有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到,这里有两个值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。图4-2分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量、。利用振动曲线可以看出，t=0时刻，质点位移，t=0.5s时，x=0。利用这些信息可以确定、。解：方法1 解析法t=0时，于是有解得：图4-3由t=0时刻对应的曲线斜率
6、可知，所以质点速度，即：所以为求，先写出质点振动方程将t=0.5s，x=0代入上式得，同样结合该点的速度方向可以得到，所以质点的振动方程是方法2：旋转矢量法由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移，质点速度，对应的旋转矢量如图4-3所示，由图可知。t=0.5s时，x=0，。此运动状态对应矢量，即旋转矢量由t=0时的经0.5s转至，共转了，质点的振动方程是2难点释疑疑难点1 旋转矢量图4-4自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量的矢端在Ox轴上的投影点的运动
7、，可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。表4-1 旋转矢量与简谐振动的物理量之间的对应关系旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为吗？走过该距离的一半所需的时间是吗？振子从平衡位置出发经历时运动的位移是多少？解析 从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是，所需的时间振子的速度不是常数，振子做变速直线运动，所以走
8、过该距离的一半所需的时间不是。振子从平衡位置运动到处（OM 位置）时，振幅矢量转过了的角度，即图4-5即振子从平衡位置运动到所用的时间是，而不是。振子从运动到平衡位置所用的时间是。振子从平衡位置出发经历时运动的位移是疑难点2 当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化？解析 弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即；最大速度的表达式是，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为，所以振幅加倍时振动能量变为原来4倍4.5习
9、题解答4.1 两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k1和k2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为等于 k1k2习题4.1图m(A) (B) (C) (D) 解析：正确答案（B）两弹簧k1和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k1和k2的形变量分别为x1和x2，k的形变量为 x，则有xx1+x2，亦即据此可确定系统的固有频率为4.2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) (B)/2 (C) 0 (D) 解析：正确答案（C）由已知条件可知其
10、初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0。选（C）4.3 用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相，则振动曲线为 习题4.3图解析：正确答案（A）由已知条件可知：初始时刻振动的位移是，速度是，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜率是正值。习题4.4图4.4 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： （A）cm（B）cm（C）cm（D）cm解析：正确答案（D）由振动图像可知，初始时刻质点的位移是，且向y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是，振动曲线上给出了质点从到的时间是1s，其对
11、应的相位从变化到，所以它的角速度。简谐振动的振动方程为4.5 质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是 (A) T/4 (B) T/2(C) T (D) 2T解析：正确答案（B）质点作简谐振动的动能表达式是，可见其变化的周期是简谐振动周期的。4.6 设某人一条腿的质量为m，长为，当他以一定频率行走时最舒适，试用一种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为 （A）（B）（C）（D）解析：正确答案（D）可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为m，长为的细长杆，它绕端点的转动惯量,根据复摆的周期公式，这里。故
12、频率习题4.7图4.7 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 （A） （B）（C） （D）0解析：正确答案（B）由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是，运动方程分别是和，它们的振幅不同，对于这样两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是。4.8 质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴负方向运动时，从处到-A处这段路程所需要的时间为 （A） （B） （C） （D）解析：正确答案（B）已知条件结合对应的旋转矢量图，它由平衡位置向x轴负方向运动时在处对应的相位是，位移是-A处对应的相位是，所以这段路程的相位差
13、是，对应的时间是4.9 弹簧振子作简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移的一半时其动能为 （A）25J （B）50J （C）75J （D）100J解析：正确答案（C）物体做简谐振动时，振子势能的表达式是，其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于最大位移的一半时其势能为，所以此时的动能是。4.10一质点作简谐振动，速度最大值，振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0,则振动表达式为。解析：速度的最大值，A=0.02m，所以。振动的一般表达式，现在只
14、有初相位没确定，速度具有正最大值的时位于原点处，由旋转矢量法可知：，振动表达式为4.11已知一个谐振子的振动曲线如图所示，求：（1）a、b、c、d、e各状态的相位分别为 。习题4.11图解析：0、结合旋转矢量图，振动曲线上的a、b、c、d、e对应旋转矢量图上的a、b、c、d、e,所以其相位分别是0、习题4.12图4.12 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm，则该简谐振动的初相为 ，振动方程为。解析：，振动方程的一般表达式是，是指t=0时对应的相位，也是初相位。由图可知t=0时的角度是，所以该简谐振动的初相为。角速度是。代入振动方程可得。4.13 一单摆的悬线长l=1.5m,在顶端
15、固定点的竖直下方0.45m处有一小钉，如图所示。设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比的近似值为 。习题4.13图解析：0.84左右摆动能量应相同，应有，所以4.14 质点按如下规律沿ox轴作简谐振动：，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。解析：本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题，可采用比较法求解。即将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式作比较，即可求得各特征量，而速度和加速度的计算与质点运动学中由运动方程求解速度和加速度的计算方法相同。将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式作比较后可得：周期是0.25s, 振幅是0.1m, 初相位是，速度最大值，加速度最
16、大值习题4.15图4.15 质点的振动曲线如图所示。试求：（1）振动表达式（2）点P对应的相位（3）到达点P对应位置所需时间。解析：（1）根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可知，初相，从t=0到t=1s时间内相位差为，所以角频率为可得振动表达式为(2)P点相对应的相位为0。(3)到达P点所需时间为4.16 沿x轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m，速度的最大值。若取速度为正的最大值时t=0。试求：（1）振动频率；（2）加速度的最大值；（3）振动的表达式。解析：速度的最大值，A=0.04m，。（2）加速度的最大值。（3）速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知：4.17 物体沿x轴作简谐振动,振
17、幅为6.0cm，周期为2.0s，在 t=0时物体位于 3.0cm处且向负x方向运动求：（1）初相位；（2）t1.0s时，物体的位置、速度和加速度分析:初相位的确定可采用两种方法：旋转矢量法和解析法。解析； （1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为,现在用旋转矢量法求解初相位。根据初始条件，初始时刻旋转矢量 A 的矢端应在图中的M位置，所以.M(2)依题意，A=0.06m，T=2.0s，则.质点的运动方程可写为,t=1.0s代入上式，可得：把已知量代入上式可得：、4.18 在一平板上放一质量为m=2kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T=0.5s，振幅A=4cm，求：（1）
18、物体对平板的压力的表达式；（2）平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？解析：（1）设平衡位置为坐标原点，向上为正方向，t=0时刻，振动的相位为零，GN则平板的运动方程是物体的运动和平板相同。分析物体受力可知： 所以根据牛顿第三定律可知物体对平板的压力与平板对物体的支持力是一对作用力与反作用力。所以物体对平板的压力（2）当平板振动的最大加速度大于g时，物体能离开平板习题4.19图4.19一弹簧振子由弹性系数为k的轻弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v0的子弹由下而上射入物块，且留在物块中。求子弹留在物块中系统的振幅与周期，并求出系统的总振动
19、能量。解析：子弹击中物块后系统的角频率为，所以周期为。设子弹击中物块后系统获得速率为v，由动量守恒定律可得.子弹进入物块后，振子的平衡位置改变了，以新的平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。以子弹进入物块的瞬间为计时零点，则t=0时刻，振子的初位移为，其中为子弹未进入物块时弹簧的伸长量，;为子弹进入物块后弹簧的伸长量，因此方法一：根据已知条件可得振子的振幅为：系统的总振动能量方法2：子弹射入物块后，系统的机械能守恒，所以系统的总振动能量即为初始时刻的振动能量，4.20 一物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 Nm1，如果起始振动时具有势能0.06J
20、和动能0.02J，求 (1) 振幅； (2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度。解析：物体做简谐振动时，振子势能的表达式是，动能表达式是。其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值，动能为零，但其总机械能却保持不变为。（1） 由于振动过程总机械能却保持不变，A=0.08m。（2） 动能恰等于势能时，也就是此时势能是总机械能的一半，（3）通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，此时， .4.21一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为1000Hz，振幅为0.5cm，则其振动能量是多少？解析
21、：简谐振动系统的能量，把已知量代入上式可得：4.22一质点作简谐振动，其振动方程为。求：（1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解析：4.23 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。 解析：作两振动的旋转矢量图，如图所示。由图得合振动的振幅和初相分别为A(5-3)cm=2cm，合振动方程为4.24 质量为m的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动方程分别为试求：（1）质点的运动轨迹方程；（2）质点在任一位置时所受的作用力。解析：（1）由题意：，以上两式化简后得：（2）t时刻
22、质点的位矢为，所以加速度为因此质点在任一位置所受的作用力 方向始终指向原点4.25 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接缝处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5，弹簧平均负重5.410N，而弹簧每受9.8103N的力将压缩1.6mm。试问火车速度多大时，振动特别强?解析：由题意可得弹簧劲度系数系统的振动角频率火车的固有周期 因此，当火车在接轨处受到振动周期等于固有周期时，振动将最强，于是时，振动将特别强烈。4.26 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm，经过多长时间振幅将变为 0.30cm?解析：阻尼振动的振幅表达式是：，代入数据可得：解得：
23、 t=20.96s4 开放性习题6.27 请以“共振”为关键词，通过互联网了解物理学、社会学、管理学等领域里共振效应。(略)第5章 机械波5.1基本要求1理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.2理解机械波产生的条件掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法理解波函数的物理意义理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念3了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件.4理解驻波及其形成。5了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.5.2基本概念1机械波机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机
24、械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。2.波线与波面 沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。3波长 在波传播方向上，相位差为的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。4周期T与频率 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。5波速 单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性
25、质。6平面简谐波的波动方程 在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为或其中，“-”表示波沿x轴正方向传播；“+”表示波沿x轴负方向传播。波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置的位移。7波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相等。任意体积元的8平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用表示。其中，9波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物
26、时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。10波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差， 时，合振幅达到极大，称为干涉相长振幅为极小，称为干涉相消。11驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。驻波方程：。12半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。13多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振
27、动频率不同的现象。5.3基本规律图5-11惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t时刻的波面是半径为R1的球面 S1，按惠更斯原理，S1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 S1面上各点为中心，以为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S2就是（t+t）时刻的波面。2多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所
28、测到的频率和波源的频率不相同的现象称为多普勒效应。当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为。u：机械波在介质中的传播速度：波源相对于介质的速度：观察者相对于介质的速度为观察者接近波源时，前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，前取“-”号，远离时，则取“+”号。 5.4学习指导1重点解析下面将讨论本章的习题分类及解题方法：（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。（2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式基本步骤
29、如下：（a）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。(b)在波线上建立坐标后，任取一点P，距原点为x，计算出p点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t，将原振动表达式中加上或减去t，即得该波的表达式。也可计算出P点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为，则将原振动表达式中的相位加上或减去。注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原点。（3）已知波形曲线，建立波动表达式从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播
30、方向写出波动表达式。例1 已知一平面波在t=0s时的波形曲线如图5-2所示，波沿x轴正向传播，已知波的周期.求（1）该波的波函数；（2）点P处质元的振动方程。图5-2分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量、。然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。将P点x坐标值代入波函数即可求P处质元的振动方程。解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅，则圆频率波沿x轴正向传播，显然，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则，于是原点处质元的振动方程为为求波函数，要求出波长或波速。先设波函数为由波形曲线可知t=0时刻，
31、x=0.4m处，,代入波函数得所以波函数为（2）P点 x=0.8m代入波函数即可求P处质元的振动方程是（4）波的干涉和驻波波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。例2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为求(1)两波的频率、波长、波速(2)两波节叠加后的节点位置(3)叠加后振幅最大的那些点的位置解：（1）与标准的波动方程比较可得：频率、波长、波速。（2）节点位置则有：（3）波腹位置：则有：（5）多普勒效应求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不
32、同公式进行处理。应特别注意公式中符号规则。对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。2难点释疑疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时，就叠加形成驻波。其表达式为：波节位置：波腹位置：相邻两波节或波腹之间的距离为，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧范围内媒质的振动相位差为。驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”字的含义。但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时，在反射点处，反射波与入射波叠加形成波节。相对于入射波，反射
33、波相位突变，相当于出现了半个波长的波程差。疑难点2. 波动过程任一体积元的机械能不守恒。图5-4理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机械能保持不变。波动过程中，虽然质元也在做简谐振动，但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变为零,和谐振动系统有着明显的不同。在学习过程中，很多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。问题的关键是要理解势能产生的原因：具有形变因而产生势能。从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大。5.5习题解答5.1 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质
34、中某质元在负的最大位移处，则它的能量 (A) 动能为零，势能最大(B) 动能为零，势能为零(C) 动能最大，势能最大(D) 动能最大，势能为零解析：正确答案（B）介质中某质元的动能表达式，质元的弹性势能，所以在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能均随作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。习题5.2图5.2 一平面简谐波的波动方程为y = 0.1cos(3ptpx+p) (SI)t = 0 时的波形曲线如图所示，则 (A) O点的振幅为0.1m (B) 波长为3m (C) a、b两点间相位差为p/2 (D) 波速为9m
35、/s 解析：正确答案（C）波动方程的一般表达式是，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是0.1m，波长，角频率，所以波速。a、b两点间距离差是，对应的相位差是。5.3 某平面简谐波在t = 0.25s时波形如图所示,则该波的波函数为 Oy(cm)x(cm)t=0.25s0.5u=8cm/s习题5.3图(A)(B)(C)(D)解析：正确答案（A）波动方程的一般表达式是，由图可知，A=0.5cm , 所以x 前系数取负值。t=0.25s时，此时的相位是已知条件代入方程可得：所以，波的波函数为5.4 一余弦波沿x轴负方向传播，已知x=-1m处振动方程为，若波速为，则波动方程为 (A) (B)(C)
36、 (D)解析：正确答案（C）沿x轴负方向传播的波动方程的一般表达式是，本题中x=-1m处的相位是，相位差与波程差之间的关系是，可知任意x处的相位比x=-1m的相位多，所以任意x处的相位是。5.5 频率为100Hz，传播速度为的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为，则此两点相距 (A)1.5m (B)2.19m (C)0.5m (D)0.25m解析：正确答案（A）相位差与波程差之间的关系是，本题中，。5.6 两列相干波沿同一直线反向传播形成驻波,则相邻波节间各质点的振动 (A)振幅相同,相位相同(B)振幅不全相等,相位相同(C)振幅相同,相位不同(D)振幅不全相等,相位不同解析：正
37、确答案（B）驻波方程为，因此根据其特点，两波节间各点运动振幅不同，但相位相同。5.7 在波长为的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 (A) (B) (C) (D) 解析：正确答案（B）驻波方程为，波腹处质点就满足条件是：，相邻波腹间的距离是波长的一半，为。5.8 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者，观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为） (A)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz。 解析：正确答案（D）本题是多普勒效应的应用，机车汽笛是一个声源，观察者静止。所以观察者听到的声音的频率可用公式：。选（D）5.9 t=0时刻波形曲
38、线如左图所示，此时a点运动方向 ，b点运动方向 ，坐标为x的质点振动曲线如右图所示时，则a时刻运动方向 ，b时刻运动方向 。习题5.9图解析：-y,y, y,-y本题给出了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同。求解本题要弄清波动图和振动图的不同的物理意义。左图是波形曲线，由波型状态和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴负向，b点运动方向是沿y轴正向。右图是振动曲线，由曲线和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴正向，b点运动方向是沿y轴负向。5.10 一横波波函数为m，则频率= ，波长= ,初相= 。 解析：100HZ,0.2m,波动方程的一般表达式是，对比将已知波的表达式，可知频率=100HZ,
39、波长=0.2m, 初相=5.11波相干的条件是 。解析：两列波相干的条件是频率相同、振动方向相同、相位差恒定。5.12频率为500Hz的波，其波速为，相位差为的两点间距离为 。解析：0.23m相位差与波程差之间的关系是，本题中，。5.13 沿x轴正向传播的波，波速为，原点振动方程为，试求(1) 此波的波长。(4m)(2)波函数。(3)同一质元在1s末和2s末这两个时刻的相位差(rad)(4),处两质元在同一时刻的相位差解析：（1）由原点的振动方程知，振动周期T=2s .所以此波的波长是（2）由原点的振动方程可得波函数（3）同一质元在两个时刻的相位差为（4）波线上两点在同一时刻的相位差为B点比A
40、点滞后。5.14 一横波波函数为，求：(1) 振幅、波长、频率和初相位(2)x=2m处质点在t=2s时振动的位移(3)传播方向上时间间隔为1s的两质点的相位差解析：（1）将给定的方程化为与标准形式的波动方程比较，可得振幅A=0.5m，波长，角频率，频率，初相位（2）把x=2m，t=2s代入波函数，可得振动的位移。（3）本题目中，传播方向上时间间隔为1s的两质点之间的距离是两个波长。对应的相位差是5.15 一波源位于坐标原点向x轴正方向发射一横波，周期T=1s，波长=10m，振幅A=0.5m，当t=0s时刻波源振动位移恰好为正方向最大值，求：（1）波函数；（2）t1=0.25s时，x=2.5m处
41、质点位移；（3）t2=0.5s时，x=2.5m处质点的振动速度。解析：波函数动方程一般形式是，要求波函数只要求振幅、波长、角频率和初相位。（1）振幅A=0.5m，波长=10m，角频率，当t=0s时刻波源振动位移恰好为正方向最大值,可知此时对应的的相位是0，即是初相位。波函数是（2）t1=0.25s时，x=2.5m代入波函数，即可得质点位移（3）t2=0.5s时，x=2.5m处质点的振动速度习题5.16图5.16 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求(1) 该波的波动方程。(2) 在距原点为100m处质点的振动方程的表达式。 解
42、析：由P点的运动方向，可判定该波向左传播。对坐标原点处质元，t=0时的位置，有，所以原点的振动方程为波动方程为（2）在距原点为100m处质点的振动方程是5.17 如图所示为平面简谐波在时的波形曲线，求该波的波动方程。 习题5.17图解析：设x=0处质元的振动方程是由图可知：A=0.1m,时，速度方向为+y方向，原点处质元的振动方程是该波的波动方程为5.18 一平面简谐波以u=0.8ms-1的速度沿x轴负方向传播。已知距坐标原点x=0.4m处质点的振动曲线如图所示。试求：(1) x=0.4m处质点的振动方程(2) 该平面简谐波的波动方程(3) 画出t=0时刻的波形图习题5.18图解析：（1）振动
43、方程的表达式，由图可知振幅A=0.05m，T=1s,角频率，t=0s时，位移是正的最大可知初相位。所以振动方程是（2）沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程的表达式其中A=0.05m，角频率，波长，所以波动方程可写成由x=0.4m处质点的振动方程可知，当t=0s, x=0.4m处质点的的相位是0， t=0s, x=0.4m代入波动方程可得相位表达式波动方程是（3）t=0代入波动方程可得。图略5.19一平面波在介质中以u沿x轴正方向传播，已知A点振动方程，A、B两质点相距为d，xAxB，求：（1）以A点为坐标原点写出波动方程；（2）以B点为坐标原点写出波动方程。解析：A点振动方程，将t换成就得到以A为原点的波动方程(2) 令x=d就得到B点振动方程,将式中t换成就得到以B为原点的波动方程5.20 一平面简谐波,频率为300Hz,波速为340ms1,在截面积
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