工程力学（静力学与材料力学）－9－应力状态与强度理论.pdf

1、Nanjing University of TechnologyNanjing University of TechnologyNanjing University of TechnologyNanjing University of Technology工程力学工程力学工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）(静力学与材料力学静力学与材料力学）课堂教学软件课堂教学软件(9)2014年年5月月15日日2014年年5月月15日日返回总目录返回总目录工程力学（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学第二篇第二篇 材料力学材料力学第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论第

2、第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论返回总目录返回总目录第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论前面几章中，分别讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度前面几章中，分别讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度问题，这些强度问题的共同特点：一是危险截面上的危险点只承受正应力或切应力；二是都需要通过实验直接确定失效时的极限应力，并问题，这些强度问题的共同特点：一是危险截面上的危险点只承受正应力或切应力；二是都需要通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度设计准则以此为依据建立强度设计准则。以此为依据建立强度设计准则以此为依据建立强度设计准则。工程上还有一些构件或结构，

3、其横截面上的一些点同时承受正应力与切应力。在这种情形下，怎样建立强度条件？强度条件中的危险工程上还有一些构件或结构，其横截面上的一些点同时承受正应力与切应力。在这种情形下，怎样建立强度条件？强度条件中的危险应力如何确定应力如何确定？应力如何确定应力如何确定？为了解决这些问题，一方面需要引入应力状态的概念，另一方面为了解决这些问题，一方面需要引入应力状态的概念，另一方面还要研究不同的应力状态下构件的破坏规律还要研究不同的应力状态下构件的破坏规律，寻找破坏的共同原因寻找破坏的共同原因。还要研究不同的应力状态下构件的破坏规律还要研究不同的应力状态下构件的破坏规律，寻找破坏的共同原因寻找破坏的共同原因

4、。前面几章的分析结果表明，除了轴向拉伸与压缩外，杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面前面几章的分析结果表明，除了轴向拉伸与压缩外，杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力上的应力，一般情形下也是不相同的一般情形下也是不相同的。上的应力上的应力，一般情形下也是不相同的一般情形下也是不相同的。第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论所谓所谓应力状态应力状态（stress-state），是指过一点不同方向面上应力是指过一点不同方向面上应力在复杂载荷作用下在复杂载荷作用下，危险点的应力状态大都比较复杂危险点的应力状态大都比

5、较复杂。复杂应复杂应所谓所谓应力状态应力状态（stress-state），是指过一点不同方向面上应力是指过一点不同方向面上应力的总称。的总称。在复杂载荷作用下在复杂载荷作用下，危险点的应力状态大都比较复杂危险点的应力状态大都比较复杂。复杂应复杂应力状态种类繁多，不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因而，必须研究在各种不同的复杂应力状态下，强度失效的共同规律，力状态种类繁多，不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因而，必须研究在各种不同的复杂应力状态下，强度失效的共同规律，假定失效的共同原因假定失效的共同原因，从而有可能利用单向拉伸的实验结果从而有可能利用单向拉伸的实验结果，建立建立假定失

6、效的共同原因假定失效的共同原因，从而有可能利用单向拉伸的实验结果从而有可能利用单向拉伸的实验结果，建立建立复杂受力时的失效判据与设计准则。本章将首先介绍应力状态的基本概念、过一点任意方向面上的复杂受力时的失效判据与设计准则。本章将首先介绍应力状态的基本概念、过一点任意方向面上的应力以及这些应力的极大值和极小值；在此基础上，建立复杂应力状态下的强度条件；作为工程应用实例，最后将介绍承受弯曲与扭应力以及这些应力的极大值和极小值；在此基础上，建立复杂应力状态下的强度条件；作为工程应用实例，最后将介绍承受弯曲与扭转共同作用圆轴以及薄壁容器的强度问题转共同作用圆轴以及薄壁容器的强度问题。转共同作用圆轴以

7、及薄壁容器的强度问题转共同作用圆轴以及薄壁容器的强度问题。第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 应力圆及其应用应力圆及其应用 应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律广义胡克定律 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 强度理论概述强度理论概述 关于脆性断裂的强度理论关于脆性断裂的强度理论 结论与讨论结论与讨论 关于屈服的强度理论

8、关于屈服的强度理论第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念 什么是应力状态？什么是应力状态？为什么要研究应力状态为什么要研究应力状态 描述一点应力状态的方法描述一点应力状态的方法 为什么要研究应力状态为什么要研究应力状态应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念 什么是什么是应力状态应力状态？什么是什么是应力状态应力状

9、态应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的点的概念同一截面上不同点的应力各不相同不同点的应力各不相同应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念F FN NF FN NF FQ QF FQ QF FN Nx xF FN Nx xMMz横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。应力状态的基本概念应

10、力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同不同方向面上的应力各不相同应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论受力之前受力之前 表面的正方形表面的正方形应力状态的基本概念应力状态的基本概念受力之前受力之前,表面的正方形表面的正方形FPFP受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论受力之前受力之前 表面斜置的正方形表面斜置的正方形

11、应力状态的基本概念应力状态的基本概念受力之前受力之前,表面斜置的正方形表面斜置的正方形FPFP受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后后正方形变成了菱形正方形变成了菱形后后，正方形变成了菱形正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论受扭之前受扭之前，圆轴表面圆轴表面为正为正圆圆。应力状态的基本概念应力状态的基本概念受扭之前受扭之前，圆轴表面圆轴表面为正为正圆圆。MxMxMx受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？受扭后，变为一斜置椭圆，

12、长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论根据微元的局部平衡应力状态的基本概念应力状态的基本概念yx根据微的局部平衡x y xxxx拉中有剪x应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论根据微元的局部平衡Mx应力状态的基本概念应力状态的基本概念y根据微元的局部平衡x y xyxx xyxy剪中有拉yx剪中有拉Mx应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念x

13、 y xx y x xyx yx微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上x的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力上也存在应力。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念应 力指明哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？哪一点？哪个方向面？应力状态的基本概念应力状态的基

14、本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的概念过点在不同应力状态的概念过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（Sf h Sf的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念 为什么要研究应力状态为什么要研究应力状态应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念请看下列实验现象：请看下列

15、实验现象：低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验应力状态的基本概念应力状态的基本概念低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论低碳钢扭转实验铸铁扭转实验应力状态的基本概念应力状态的基本概念低碳钢扭转实验铸铁扭转实验料料为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转

16、时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。横截应不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念 描述一点应力状态的方法描述一点应力状态的方法应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念 描述一点应力状态的基本方法描述一点应力状态的基本方法微

17、元及其各面上的微元及其各面上的微元微元微元微元（ElementElement）应力即可描述一点的应力状态应力即可描述一点的应力状态d dx xd dy yd dz z应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态应力状态的基本概念应力状态的基本概念(Three(Three-DimensionalDimensionalStateStateofof Stresses)Stresses)三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态z z z zy zxy x y yz xzyx xy yx应力状态的基本概念应力状态的基本概念第

18、第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念y yx平面（二向）平面（二向）应力状态应力状态xy xy(PlaneStateofStresses)xStresses)y应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论y yy y应力状态的基本概念应力状态的基本概念y yy y yxx xxx x xyx xx x单向应力状态单向应力状态纯切应力状态纯切应力状态单向应力状态单向应力状态(One Dimensional State of Stresses)纯切应力状态纯切应力状态(Shearing State of Stre

19、sses)应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念FP例例 题题 1 1S平面平面l/2l/2l/2应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论PF 应力状态的基本概念应力状态的基本概念PQ2FF 例题例题1 1 4PlFMz S平面平面S平面平面 S平面平面S平面平面21x 12x 23233应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念l例题例题2 2FPS Sa应力状态的基本概念应力状态的基本概念

20、第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态的基本概念应力状态的基本概念y y14例题例题2 2x xz z323S S平面平面平面平面S S平面平面平面平面应力状态的基本概念应力状态的基本概念第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论yy应力状态的基本概念应力状态的基本概念FQy1M414xxMz4zMx23z3第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论平面应力状态任意方向面平面应力状态任意方向面上上的应力的应力平面应力状态任意方向面的应力平面应力状态任意方向面的应力平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强

21、度理论平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 方向角与应力分量的正负号约定方向角与应力分量的正负号约定 方向角与应力分量的正负号约定方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡微元的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力正应力与切应力正应力与切应力正应力与切应力平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 方向角与应力分量的正负号约定方向角与应力分量的正负号约定平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力xx正应力 方向角与应力分量的正负号约定方向角与

22、应力分量的正负号约定拉为正压为负拉为正压负xx平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力x y 使微元或其局部顺时使微元或其局部顺时切应力使微元或其局部顺时使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为针方向转动为正；反之为负负 xy负负。yx平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力yy方向角 x 由由 x正向反时针转正向反时针转x 到到x正向者为正

23、；反之为负。正向者为正；反之为负。平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 微元的局部平衡微元的局部平衡平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 平衡对象平衡对象y y 微元的局部平衡微元的局部平衡平衡对象平衡对象x y 参加平衡的量参加平衡的量xxyy用用 斜截面截取的微元局部斜截面截取的微元局部x 参加平衡的量参加平衡的量dA应力乘以其作用的应力乘以其作用的面积面积x 平衡方程平衡方程yxdA0F0F面积面积 xy y0 xF0yF平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章

24、应力状态与强度理论应力状态与强度理论平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力0 xFx y x x x y x y x y x yx x y yx ydxAd coscosxAdiAx x xy yxyxdAdAd cossinxyAd sincosyxA 0 yyxyxyd sinsinyA平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力0yF xqxxxx y dx yA d cossinxAx xydAd coscosxyAd sinsinyxA

25、yyx 0yxd sinsinyA平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论用用用用斜截面截取斜截面截取斜截面截取斜截面截取用用用用斜截面截取斜截面截取斜截面截取斜截面截取2平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力用用用用斜截面截取斜截面截取斜截面截取斜截面截取用用用用斜截面截取斜截面截取斜截面截取斜截面截取2x y x y 2x yx xy yxy x yxyyx y x yx xy平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论平面应力状态任意方

26、向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力利用三角倍角公式利用三角倍角公式根据上述平衡方程式根据上述平衡方程式可以得到计算平可以得到计算平 平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力利用三角倍角公式利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式根据上述平衡方程式，可以得到计算平可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式：面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式：2sin2cos22xyyxyxx2cos2sin2xyyxyx平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论例 题

27、3分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面说明低说明低平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力例 题 3分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。y杆件承受轴向拉伸时杆件承受轴向拉伸时，其上其上x杆件承受轴向拉伸时杆件承受轴向拉伸时，其上其上任意一点均为单向应力状态。根据平面应力状态任意斜截任意一点均为单向应力状态。根据平面应力状态任意斜截xx面上的正应力和切应力公式面上的正应力和切应力公式2sin2cosyxyx2sin2cos22xyx

28、2cos2sin2xyyxyx2yy平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论根据平面应力状态任意斜截根据平面应力状态任意斜截平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力根据平面应力状态任意斜截根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式面上的正应力和切应力公式2sin2cosyxyxy2sin2cos22xyyyx2cos2sinyxx2cos2sin2xyyx在本例的情形下，在本例的情形下，y0，yx0。xxcos222xxxsin22xx y 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力

29、第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论2cosxxxy平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力2sin222xyxxx根据这一结果，当根据这一结果，当4545时，斜截面上既有正应力又有切应力，其时，斜截面上既有正应力又有切应力，其值分别为值分别为xx值分别为值分别为4545,22xx不难看出，在所有的方向面中，不难看出，在所有的方向面中，45斜截面上的正应力不是最大值，而切应力却是最大值。斜截面上的正应力不是最大值，而切应力却是最大值。这表明这表明，轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹4545角的斜面角的斜面这表明这表明，轴向拉伸时

30、最大切应力发生在与轴线夹轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹4545角的斜面角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大切应力引起的。上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大切应力引起的。平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论例例 题题 4平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力例例 题题 4分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因

31、。圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯切应力状态。圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯切应力状态。根据平面应力状态任意斜截面上的根据平面应力状态任意斜截面上的 yxy根据平面应力状态任意斜截面上的根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式正应力和切应力公式yxx2sin2cos22xyyxyxx2cos2sinyx xy2cos2sin2xyyx平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式平面应力状态任意方向面上的应力平面应力

32、状态任意方向面上的应力根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式2sin2cos22xyyxyxxy222cos2sin2xyyxyx yxx在本例的情形下，在本例的情形下，x y0。i xysin2xxyxycos2x yxy 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论2sinxyx平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力可以看出，当可以看出，当4545或或45时，斜时，斜截面上只有正应力没有切应力截面上只有正应力没有切应力45时时(自自2cosxyyx

33、 y截面上只有正应力没有切应力截面上只有正应力没有切应力。45 时时(自自x轴逆时针方向转过轴逆时针方向转过45)，拉应力最大；，拉应力最大；45时时(自自x轴顺时针方向转过轴顺时针方向转过45)，压应力，压应力最大最大 yxx最大最大：max45450 xymax45450 xy_-xy进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45螺旋面）断开的。螺旋面）断开的。因此因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应可以认为这种脆性破坏是由最大拉应545因此因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的

34、。力引起的。第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 应力状态中的主应力应力状态中的主应力与最大切应力与最大切应力与最大切应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 主平面主平面主应力与主方向主应力与主方向 主平面主平面、主应力与主方向主应力与主方向 平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力 面内最大切应力面内最大切应力 过过一一点所有方向面中的最大切应力点所有方向面中的最大切应力过点所有方向面中的最大切应力过点所有方向面中的最大切应力应

35、力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 主平面主应力与主方向主平面主应力与主方向应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 主平面、主应力与主方向主平面、主应力与主方向2sin2cos22xyyxyxx2cos2sin222xyyxyxyyxxy22tanp2sin2cos2=02xyx yxy 切应力切应力 x y 0的方向面，称为主平面（的方向面，称为主平面（principal plane），其方向角用），其方向角用 p表示。表示。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应

36、力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 主平面、主应力与主方向主平面、主应力与主方向yxxy22tanp主平面上的正应力称为主应力（主平面上的正应力称为主应力（principal stress）。主平面法线方向即主应力作用线方向，称为主方向（）。主平面法线方向即主应力作用线方向，称为主方向（principal directions）.主方向用方向角主方向用方向角表示表示主方向用方向角主方向用方向角 p表示表示。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论2i 2xyxy应力状

37、态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力将上式对将上式对 求求一一次导数次导数，并令其等于零并令其等于零，有有cos2sin222xyxyxxy将上式对将上式对 求次导数求次导数，并令其等于零并令其等于零，有有0cos22)sin2(ddxyyxx由此解出的角度由此解出的角度由此解出的角度由此解出的角度xy22tan角度角度 与与 P 具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴轴(垂直于垂直于xy坐标面坐标面)旋转时，主应力为所有坐旋转时，主应力为所有坐yx(y)标系中正应力的极值。标系中正应力

38、的极值。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力根据切应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面根据切应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面(P/2)，其上之切应，其上之切应力也等于零力也等于零，因而也是主平面因而也是主平面，其上之正应力也是主其上之正应力也是主力也等于零力也等于零，因而也是主平面因而也是主平面，其上之正应力也是主其上之正应力也是主应力。应力。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章

39、 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力需要指出的是，对需要指出的是，对于平面应力状态于平面应力状态，平行平行于平面应力状态于平面应力状态，平行平行于于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没坐标面的平面，其上既没有正应力，也没0 有切应力作用，这种平面也是主平面。这一主有切应力作用，这种平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零平面上的主应力等于零。0 平面上的主应力等于零平面上的主应力等于零。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 平面应力状态的三个主应力平面应力

40、状态的三个主应力应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力p2tan2xyxypp+2cos2sin222xyxyxxy2241yx22422xyyxyx2241yx 422xyyx0 应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论2241yx应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力2422xyyxy2241yx 422xyyx0 以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用 123,表示，

41、即表示，即321321应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量以说主应力是反映应力状态本质的特征量。以说主应力是反映应力状态本质的特征量以说主应力是反映应力状态本质的特征量。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力

42、状态与强度理论因此因此，同同一一点的应力状态可以有无穷多种表达形式点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多在无穷多应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 因此因此，同点的应力状态可以有无穷多种表达形式同点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多在无穷多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？y yx y x y y y x xy Py Pxx xyxxyxxyypxp坐标系坐标系 坐标系坐标系坐标系坐标系x-y坐标系坐标系x-y 坐标系坐标系xp-yp坐标系坐标系应力状态

43、中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论根据上述结果根据上述结果，原来用原来用 x、y xy和和 yx表示的应力状态表示的应力状态，现在现在应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力根据上述结果根据上述结果，原来用原来用 x、y、xy和和 yx表示的应力状态表示的应力状态，现在现在可以用主应力表示。可以用主应力表示。yy yx xyy yxx显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表示的应力状态简单。用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表示的应力状态简单。

44、用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同的态表面上是不同的，但实质是相同的但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同即其主应力和主方向都相同。态表面上是不同的态表面上是不同的，但实质是相同的但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同即其主应力和主方向都相同。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 面内最大切应力面内最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化化，因而切应力

45、亦可能存在极值因而切应力亦可能存在极值为求此极值为求此极值，将将 面内最大切应力面内最大切应力2cos2sin2xyyxyx化化，因而切应力亦可能存在极值因而切应力亦可能存在极值为求此极值为求此极值，将将对对 求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到0sin22)cos2(dyx由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用 s s表示表示0sin22)cos2(dxyyxstan22xyxy应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 面内最大切应力面内最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力

46、与最大切应力stan22xy 面内最大切应力面内最大切应力2xy2cos2sin2xyyxyx得到得到 x y 的极值的极值2224142xyyx 需要特别指出的是需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于上述切应力极值仅对垂直于需要特别指出的是需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于上述切应力极值仅对垂直于xyxy坐标面的方向坐标面的方向坐标面的方向坐标面的方向面而言面而言面而言面而言，因而称为因而称为因而称为因而称为内大力内大力内大力内大力面而言面而言面而言面而言，因而称为因而称为因而称为因而称为面面内内最最大大切应切应力力面面内内最最大大切应切应力力（maximummaximum sh

47、earingshearing stressesstresses ininplaneplane）与面内最小切应力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有方向面中切二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最大和最小值应力的最大和最小值。）与面内最小切应力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有方向面中切二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最大和最小值应力的最大和最小值。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论点有中最大应力点有中最大应力应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力为确定过点的所有方向面上的最

48、大切应力为确定过点的所有方向面上的最大切应力可可 过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力为确定过为确定过一一点的所有方向面上的最大切应力点的所有方向面上的最大切应力，可可以将平面应力状态视为有三个主应力（以将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作用的应力状态的特殊情形作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有即三个主应力中有一一个个作用的应力状态的特殊情形作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有个即三个主应力中有个等于零。等于零。考察微元三对面上分别作用着三个主应力考察微元三对面上分别作用着三个主应力考察微元三对面上分别作用着三个主应力考察微元三对面上分别作用着三

49、个主应力（123 0）的应力状态。）的应力状态。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论点有中最大应力点有中最大应力应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力 过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力考察微元三对面上分考察微元三对面上分别 作 用 着个 主 应 力别 作 用 着个 主 应 力别 作 用 着别 作 用 着 三三 个 主 应 力个 主 应 力（123 0）的应力状态。）的应力状态。应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力第第9章章 应力状态与强度理论应力状态

50、与强度理论应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力在平行于主应力在平行于主应力 方向的任意方向面方向的任意方向面上上，正应力和切应力都正应力和切应力都1在平行于主应力在平行于主应力1方向的任意方向面方向的任意方向面上上，正应力和切应力都正应力和切应力都与与1无关。因此，当研究平行于无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：x=3,y=2，xy022421xyyx 23这就是组方向面内的最大切应力。这就是组方向面内的最大切应力。232应力状态中的主应力与最大切应力应