改基于多元回归的房价预测和房价合理性分析.doc

1、摘 要 房地产产业是有关国民经济发展的重要产业，它的健康发展与国民经济的可持续发展息息相关。同时，房价问题与民生问题又紧密相关。近年来，我国房价不断攀升，房价问题已成为全社会关注的民生问题。因此，建立合理的房价预测模型是十分必要的。本文选取我国具有代表性的几类城市，并对这些城市从2001到2010年十年间的平均房价和影响房价的因素如居民人均可支配收入，土地价格，房地产税，开发商预期利润等进行分析，通过理想房价的经典计算公式得出各城市近十年的理想房价，通过与实际房价的对比，对房价的合理性进行了定量分析；再利用多元回归模型和灰色模型对未来房价的走势进行预测，得到房价走势的两个预测函数，并比较两个模

2、型找出预测精度最高的模型；并利用变异系数求权法，找出影响房价的主要因素，得到使得房价合理的具体措施，再通过对房价变化与GDP变化关系的定量分析，得出房价对经济发展的影响。最后分析了模型的优缺点，并提出改进方向。关键字 多元回归 灰色预测 变异系数求权一.问题重述近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使老百姓生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此建立准确的房价预测模型和对房价合理性准确分析是十分必要的，下面就以下三个关于房价的问题进行分析与讨论： 问题一：建立合理的数学模型，选取我国具有代表性的几类城市，对其房价的合理性进行定量分析 问题二：预测未

3、来一段时间我国房价的走势 问题三：通过分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响二.基本假设影响房价的因素有许多，诸如房屋建造成本、市场供求关系、经济发展、城市规模，消费者的个人偏好，房地产商的期望利润等等。我们从中提取主要因素并对其进行如下假设：1. 假设人均可支配收入，土地成本，建筑成本，政府税费和房地产商期望利润为影响房价的五个主要因素。2. 忽略消费者偏好如有无学校、绿化率、停车位、热水供应状态、通信等，不考虑建筑成本中的运输成本。3. 政府宏观调控政策仅考虑税收的影响。4. 忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对房价的影响。5. 忽略诸如经济危机

4、，地震，战争等各种突发情况对房价的影响。 三符号说明P：理想房价X1建筑成本X2土地成本X3政策税收X4预期利润X5人均可支配收入Y实际房价K0,K1，k2 ，k3， k4房价预测函数的参数理想房价计算公式中税率理想房价实际房价第项指标的变异系数第项指标的标准差第i项指标的权重各类城市的GDP四问题的分析问题一：将我国城市分为具有代表性的三类，并从每类中选取具有代表性的几个城市作为研究对象，搜集这些城市近十年的实际房价和假设影响房价的五个主要因素的有关数据，首先利用理想房价的经典计算公式对2001年到2010年的理想房价房价进行定量刻画，通过与对应年份的实际房价的比较，即可对当前房价合理性进行

5、定量分析。问题二：根据已收集的数据，利用多元回归模型和灰度模型建立房价的预测函数，对未来房价的走势进行预测。并对两个模型的比较找出预测精度最高的模型。问题三：利用一元复相关系数和变异系数求权两种方法找出对房价影响最大的因素，从而得到调控房价的合理措施。再通过对房价变化与GDP变化关系的定量分析，得出房价对经济发展的影响。五模型的建立与求解问题一：依据各地区房价的高低将城市分为如下三类：一线，房价排名全国前十位；二线，房价排名全国十一到四十位；三线，房价排名全国四十位以后。具体情况见下表：一线北京上海深圳广州温州杭州二线武汉西安重庆苏州沈阳合肥昆明济南太原海口三线兰州呼和浩特银川石家庄乌鲁木齐西

6、宁桂林洛阳由于同类城市的房价差异较小，所以采用平均房价来刻画各线城市的实际房价情况。各线城市近十年平均房价见下表 单位：元平方米年份2001200220032004200520062007200820092010一线31853825571559047364889910887130031457318306二线1723184320022406291835084132504451196184三线1569167218122046226426982971324636013832理想房价计算公式为： P=(1+)*(X1+X2) - -(1)利用公式(1)计算三类城市的理想房价，应用统计学原理和经验，分别

7、令假设一，二，三类城市税率为0.19，0.16，0.13，由Excel中的自定义函数得到计算结果，见下表各线城市理想房价： 单位：元平方米年份2001200220032004200520062007200820092010一线3665379040124118477751605848653172998514二线1251133514491797195522522695315133463500三线1180129013871427155718171980209821572297下面对房价的合理性进行分析，我们假设 =(理想房价实际房价)0.7为合理房价的判断标准。由表1表2数据我们绘制出三类城市理想房

8、价与实际房价的比例直方图，如下图：通过对直方图的分析，我们得到如下结论：1 三类城市的房价逐渐由合理趋于不合理，且值越来越小，即不合理程度越来越严重2 一类城市的房价从2004年以后开始不合理，二类城市为2005年，三类城市为2007年。由此可以得出城市规模越大，发展越迅速，房价越早趋于不合理。3 通过比较三类城市同一年份值的大小，可以得出，在房价不合理的情况下，一类城市的不合理度最高，二类城市次之，三类城市最低至此，我们对近年来我国房价的合理性进行了较为全面的分析，随着房价的不合理程度逐渐趋于恶化，我们建议政府加大调控力度，采取合理措施，使房价趋于合理，使老百姓不用为房价问题发愁。问题二：(

9、a) 利用多元回归模型建立房价预测函数1. 模型建立 为了大致的分析Y与X1，X2，X3，X4和X5的关系，首先利用表一的数据，由SPSS软件包作出Y对X1的散点图，见图1（单位：元）：图1 从图1 可以发现，随着X1的增加，Y的值有比较明显的线性增长趋势。同理，可以得到Y分别与X2，X3，X4，X5的散点图，见图2，图3，图4，图5 图2 图3图4图5由图中发现，Y与各变量有比较明显的线性关系。因此，我们用多元线性回归模型来拟合一线城市房价预测函数： Y=k0+k1*X1+k2*X2+k3*X3+k4*X4+k5*X5 -(2)2模型求解直接利用SPSS软件包求解运行结果如下：系数a模型非标

10、准化系数标准系数B标准误差试用版tSig.1(常量)-17472.1095020.786-3.480.013建筑成本9.9213.604.3632.752.033土地成本2.352.862.5682.729.034人均收入.060.202.076.300.775a. 因变量: 一类城市房价 已排除的变量b模型共线性统计量Beta IntSig.偏相关容差1一类城市政策税收10.264a2.744.041.7752.714E-5一类城市开发商预期利润11.160a3.004.030.8022.458E-5a. 模型中的预测变量: (常量), 一类城市人均收入, 一类城市建筑成本, 一类城市土地成

11、本。b. 因变量: 一类城市房价排除变量：政策税收X，开发商预期利润X5复相关系数：0.966自变量：建筑成本X1，土地成本X2，人均收入X5多因素拟合函数为：Y= 17472.109+9.921X1+2.352X2+0.060X5 -(3)3结果分析： 在拟合的预测函数中排除了回归变量X3，X4，表明回归变量X3，X4对Y的影响是不太显著的，而且X3，X4是由X1，X2，X5线性制约的，因而最终所得预测函数即为(3)式。4二线，三线城市的房价预测同理可得，二线城市的房价预测函数为： Y= -31.759+3.220X2+0.007X5 - (4)三线城市的房价预测函数为： Y=-3.226+

12、1.318X1+0.825X2+2.65X3+0.051X5 - (5)结果分析方法同一线城市。(b) 利用灰色模型建立房价预测函数 1模型的建立 灰色模型的定义如下：如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据，而不直接使用原始数

13、据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性设X(0) (k) | k = 1 ,2 , ,n为非负,其中X(0)= 3185，3825，5714，5904，7364，8899，10887，13003 ，14573，18306原始数据序列, 进行一次累加生成得即：= =3185,7010,12724,18628,25992,34891,45778,58781,73354,91 660为的紧邻均值生成序列：，其中：。设：对参数列进行最小二乘估计得，GM (1 , 1) 模型的动态微分方程形式为：其解的时间响应为：由 还原求出X(0) 的预测值：

14、2模型求解由MATLAB软件包求解，具体程序见附录。问题三：利用变异系数求权法确定对房价影响的最大因素在统计理论和实践中，权重是表明各个评价指标（或者评价项目）重要性的权数，表示各个评价指标在总体中所起的不同作用。变异系数法是直接利用各项指标所包含的信息，通过计算得到指标的权重，是一种客观赋权的方法。此方法的基本做法是：在评价指标体系中，指标取值差异越大的指标，也就是越难以实现的指标，这样的指标更能反映被评价单位的差距。 由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。各项指标的变异系数

15、公式如下： 式中：是第项指标的变异系数、也称为标准差系数；是第项指标的标准差；是第项指标的平均数。各项指标的权重为： 因此，对历年如下数据求平均值，并不失合理性。 一线城市标建筑成本土地成本政策税收预期利润人均收入平均数19502580675155320172标准差180.941194.56205.93473.616193.09变异系数0.190.460.310.300.30权重0.1210.2930.1970.1960.196 二线城市标建筑成本土地成本政策税收预期利润人均收入平均数874107629267313466标准差382.64467.03127.454293.135264.34变异

16、系数0.4404340.4360.4350391权重0.2050.2050.2050.2050.18 三线城市标建筑成本土地成本政策税收预期利润人均收入平均数62074320447011320标准差186.08171.4238.02126.93606.53变异系数0.300.230.190.270.32权重0.230.1760.1450.2060.244由表中数据容易得到，在一线城市中，土地成本所占权重最大；政策税收，预期利润和人均收入所占比例次之；建筑成本所占比例最小。因此，根据各变量的权重大小，我们给出使得房价合理的具体措施：1土地成本是房地产价格的重要组成部分，政府应当通过土地政策来积极

17、调控地价 ,科学合理配置土地资源，达到公共利益最大化，是垄断土地一级市场的政府的职责和目标。政府应土地成本作为重点调控对象。如对过度开发采取一定的的遏制措施，如开发商拿地首付不低于50%，分期缴纳全部土地出让价款期限原则上不得超过一年，如果开发商拖欠价款，不得参与新的土地出让交易。2 .利润对房价的影响争议最大，开发商应薄利多销,虽然目前尚无可靠数据和学术研究证实当前的房地产市场存在“暴利”，大城市的房价的快涨和猛跌，充分证明了开发利润空间的可观。在市场经济中，追求利润最大化是经济个体参与经济活动的动力，而政府就要充分履行公共管理职责，通过制度和机制作用，平衡社会利益，保障社会整体公平效益下的

18、个体利益最大化。3现行税费体制对调控房地产市场和房价举足轻重，税费体制改革有利于促进房价构成的合理化 4建造成本也是影响房价的一个因素，但其可控性体现在于造价控制,其变动性弱,可控性强,变化规律易于把握。因此，合理控制建造成本是降低房价最有效、最直接的途径。只有不断提高技术和管理水平，优化设计、施工、监理、验收等各阶段的项目管理，同时增强与国民经济其他产业部门的协调度，弱化原材料涨价影响，实现科学合理可靠的降低建造成本。(c) 房价变化与GDP的关系 GDP是衡量经济发展的“晴雨表”，房价的变化对国民经济的发展影响巨大。因此我们通过寻找GDP与房价的关系来定量刻画房价变化对经济发展的影响。搜集

19、20012010年三类城市的GDP与房价的统计数据，由一元回归模型，利用SPSS软件包对GDP与房价的相关数据进行拟合，得到GDP与房价的函数关系，见下表：城市各线城市房价-GDP函数一线城市G1=-1185.3+1.2P-0.000025P0.973二线城市G2=525.7+0.04P+0.000064P0.991三线城市G3=49.7-0.04P+0.000054P0.973通过对表中三个函数的分析，可以看出，一线城市房价的权重远远高于二线城市和三线城市，表明房价对一线城市经济发展的拉动作用最大，二、三线城市次之。以下是由SPSS软件包对数据拟合得到的GDP与房价的散点曲线图：进一步计算，

20、我们得到以下结果：房价每平米升高一元，第一类城市GDP平均增长0.0715亿，房价每升高一元，第二类城市GDP平均增长0.0530亿元第三类城市房价每升高一元，城市GDP平均增长0.0254亿元由此可见，第一类城市房价变化对城市GDP作用显著，是关系到该城市其他各方面合理协调发展的重要因素。第二、三类城市房价变化对城市GDP作用不如第一类城市，但仍然在GDP变化中起着不小的作用。六模型的检验下面对问题二中得到的两个预测函数进行检验。首先对多元回归模型得到的函数(3)，(4)，(5)式进行验证，验证结果如下表：单位(元/平方米)一线城市年份实际房价模型结果模型偏差模型偏离率20091457315

21、1035303.6%20101830618049-257-1.4%2011未知21502未知未知二线城市年份实际房价模型结果模型偏差模型偏离率2009511953282094.1%201061845859-325-5.3%2011未知7015未知未知三线城市年份实际房价模型结果模型偏差模型偏离率200936013501-100-2.7%2010383240131814.7%2011未知4285未知未知下面是灰色模型函数的验证结果：一线城市年份实际房价模型结果模型偏差模型偏离率200914573151265533.8%20101830618088-218-1.2%2011未知21630未知未知二

22、线城市年份实际房价模型结果模型偏差模型偏离率2009511953852665.2%201061846237530.8%2011未知7224未知未知三线城市年份实际房价模型结果模型偏差模型偏离率200936013555-46-1.3%2010383239531213.2%2011未知4396未知未知七模型的比较与评价1 通过模型的检验，我们发现多元回归模型和灰色模型在假设条件下的预测结果较为接近，与实际的偏离率都在10%以内，都能合理地预测房价的走势，因此都可以作为房价预测的合理模型。但是，多元回归模型综合考虑了影响房价的主要因素，从本质上揭示了房价与影响房价的因素的关系，在某一单一因素发生变化

23、时可以仍然可以预测出较为准确的房价，而且容易实现；而灰色模型仅以各年房价作为考虑因素，很难把握其它因素对房价的影响。二者的缺点是都只能预测较为长期的房价走势，较难对短期内的房价变化作出合理的评估。 2 当单一变量受到诸多因素影响时，而且各变量的影响程度不同时，采用变异系数求权法可以定量地刻画各变量影响程度的大小。此方法的不足之处是很难将实际的全部影响因素考虑在内。 八模型的推广1 多元回归模型不仅可以用来预测房价的走势，对于某一单一变量由多个因素影响的预测类问题也是适用的。如经济发展状况问题，股票走势问题，商品销售问题等，采用多元回归模型，对各影响因素进行定量刻画，从而可得到较为准确的预测结果

24、。2 变异系数求权的思想亦可用在对不同变量影响作用的刻画上，通过对变量的影响作用赋予权值，可以定量刻画各变量对结果的影响作用的大小。如货币汇率问题。政府政策，经济发展，国际形势等都是货币汇率的影响因素，运用此方法即可得到这些因素对汇率的影响程度。九参考文献1 肖华勇 实用数学建模与软件应用 西北工业大学出版社2 赵静 数学建模与数学实验 高等教育出版社3 张平 MATLAB基础与应用 北京航空航天大学出版社十附录1用MATLAB的灰色预测GM（1，1）模型程序x = ;%在方框内输入十年房价的矩阵clc %清屏，以使结果独立显示format long; %设置计算精度if length(x(:

25、,1)=1 %对输入矩阵进行判断，如不是一维列矩阵，进行转置变换 x=x;endn=length(x); %取输入数据的样本量z=0;for i=1:n %计算累加值，并将值赋予矩阵be z=z+x(i,:); be(i,:)=z;endfor i=2:n %对原始数列平行移位 y(i-1,:)=x(i,:);endfor i=1:n-1 %计算数据矩阵B的第一列数据 c(i,:)=-0.5*(be(i,:)+be(i+1,:);endfor j=1:n-1 %计算数据矩阵B的第二列数据 e(j,:)=1;endfor i=1:n-1 %构造数据矩阵B B(i,1)=c(i,:); B(i,2

26、)=e(i,:); endalpha=inv(B*B)*B*y; %计算参数 矩阵for i=1:n+1 %计算数据估计值的累加数列，如改为n+1为n+m可预测后m-1个值 ago(i,:)=(x(1,:)-alpha(2,:)/alpha(1,:)*exp(-alpha(1,:)*(i-1)+alpha(2,:)/alpha(1,:);endvar(1,:)=ago(1,:)for i=1:n %如改n为n+m-1，可预测后m-1个值 var(i+1,:)=ago(i+1,:)-ago(i,:); %估计值的累加数列的还原，并计算出下一预测值endfor i=1:n error(i,:)=v

27、ar(i,:)-x(i,:); %计算残差endc=std(error)/std(x); %调用统计工具箱的标准差函数计算后验差的比值cago %显示输出预测值的累加数列alpha %显示输出参数 数列var %显示输出预测值error %显示输出误差c %显示后验差的比值c2一线城市20012010年房价与影响房价的因素的有关数据，二、三线城市与一线城市情况相似，此处从略。一平均房价年份北京上海广州深圳温州杭州平均值20014989401048106108421858753185200247613856495769214640622038252003484558705090675851706

28、550571420045523756053696550730068785904200567211202056606037927872107364200690281081265007500110358650889920071142612905730093001388011050108872008132221409985141114317700133381300320091505115404988214758171141522714573201019999201861093722304200501636018306二人均可支配收入年份北京上海广州深圳温州杭州平均值20011156013450136

29、5015680149801089713370 200212150140001452016890156791199514206 200313882148671550217650166501289215241 200414563153321600018436173251365015884 200515653166501725019860182681468917062 200617653186451828721496198051660118748 200721989236232246924870240022168923107 2008246902669024560258902630224358254

30、15 200926738286232760029245280212680027838 201029073318383065832302312013003530851 三建筑成本年份北京上海广州深圳温州杭州平均值20011700185015081735161015671691 20021745190115591789172216011747 20031810194516041856178516501802 20041865199016691905183217121857 20051934203417121960189817781915 200619892080176720371943184519

31、68 20072067210318232068199918902027 20082120217818782177206719572096 20092185225019562250212320112177 20102230239920892309220021212225 四土地成本年份北京上海广州深圳温州杭州平均值20011247132313941832101215271468 20021190119514372076111316171502 20031211176114762027124017031620 20041380219215571965175217881808 20051680336

32、616411811222618742122 20062257291918852250264822492328 20072857335521172790333128732743 20083305352524693342424834673150 20093763462128654427410739593632 20104999565231716691481242534556 五政府税费年份北京上海广州深圳温州杭州平均值2001442 476 435 535 393 464 458 2002440 464 449 580 425 483 474 2003453 556 462 582 454 503

33、 502 2004487 627 484 581 538 525 540 2005542 810 503 566 619 548 598 2006637 750 548 643 689 614 647 2007739 819 591 729 800 714 732 2008814 855 652 828 947 814 818 2009892 1031 723 1002 935 896 913 20101084 1208 789 1350 1052 956 1073 六预期利润年份北京上海广州深圳温州杭州平均值20011017 1095 1001 1231 905 1067 1053 2002

34、1013 1068 1034 1333 978 1110 1089 20031042 1279 1063 1340 1044 1157 1154 20041120 1443 1113 1335 1236 1208 1242 20051247 1863 1157 1301 1423 1260 1375 20061465 1725 1260 1479 1584 1412 1487 20071699 1883 1359 1676 1839 1643 1683 20081872 1968 1500 1904 2179 1871 1882 20092052 2370 1663 2304 2149 2060 2100 20102494 2778 1815 3105 2419 2199 2468 .