数学建模人力资源配置模型.doc

1、人力资源配置模型队号： 209队参赛队员：张先生 微电子系 20100721 王先生 经管 系 20100721 刘先生 经管 系 20100721 2010年5月31日 人力资源配置摘要近年来，世界各国的电力工程技术迅速发展，对电力高级人才的需求也越来越多。如何在保证专业人员结构在符合客户要求的情况下进行合理的分配现有的技术力量，进而使得公司直接收益达到最大已成为每个公司急需解决的问题。本文针对某一电力公司在承接4个项目工程时的人力资源如何安排才能使得该电力公司的直接收益最大这一问题建立了两个数学模型。模型I主要依据公司的人员结构、工资情况、各项目对专业技术人员结构要求、以及不同项目和各种人

2、员的收费标准四个要素建立数学模型。其中人员结构和对人员结构的要求为约束条件，各种人员的收费标准、工资和管理开支为权重。本文针对这一特点建立16个变量的整数规划模型。并运用启发式算法求解该模型。在启发式算法中，先将人员结构分为两个部分，固定部分即客户的最低需求部分，调派部分即需要安排部分。其中固定部分所对应的直接收益是固定的，所以只需考虑调派部分所产生的最大收益，将收费标准减去所有对应的开支，得到该公司的利润标准，并给出不同项目和各种人员的利润图表。对简化后的11个变量综合考虑，运用启发式算法给出调派部分人员的安排以及公司的直接收益，最后给出具体人员安排如下：项工程需高级工程师1名，工程师6名，

3、助理工程师2名，技术员1名；项工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；项工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；项工程需高级工程师1名，工程师2名，助理1名，技术员无；最大利润为每天27150元。模型II是建立整数规划的优化模型通过具体分析该电力公司现有的技术力量和各方面的约束条件，在问题求解中，可以列出一天最大直接收益的整数规划，求得最大的直接收益是依然是27150元；本文的优点在于运用两种不同的数学模型进行解决同一问题，得到了相同的结果，模型I运用了启发式算法在去掉固定部分的调派人员后，使问题大大简化，有利于计算；同时给出利润标准，使问题更加直观。模型II是

4、运用了整数规划的方法进行求解，最后得出与模型I相同的结果，从而说明了模型的正确性。关键词：启发式算法 整数规划模型 灵敏度分析 直接收益 最大收益一问题重述“E公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。表1：高级工程师工程师助理工程师技术员人 数日工资（元）925017200101705110目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收

5、费标准不同，具体情况如表2所示。表2：高级工程师工程师助理工程师技术员收费（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：表3：ABCD高级工程师工程师助理工程师技术员总计1322110252231622211112281-18因此需要解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？ 二.问题的分析在模型I中，要解决的问题为怎样分配人力资源使公司的直接收益最大，其约束分别为公司人员结构以及各项目对专业人员结构要求。很

6、明显这是一个变量为16个的整数规划问题，在满足约束条件下建立相关模型是比较简单的，如何给出解答是本题的关键。本文给出的解法是：在模型的求解中可以将公司人员的安排分为两个部分：第一个部分为固定部分即客户最低要求部分，其利润是不变的；第二部分为需要安排部分，为方便起见，首先将16个变量简化为11个变量，给出其对应的利润标准。对需要安排部分运用启发式算法，求出需要安排部分的人员结构，在此基础上可得到最大收益，即为固定利润与安排部分最大利润之和。模型II中由题意可知各项目对不同职称人员人数都有不同的限制和要求。对客户来说质量保证是关键，而高级工程师相对稀缺，因此各项目对高级工程师的配备又不能少于一定数

7、目的限制其中由于项目技术要求较高，技术员不能参加而C、D两项目主要工作是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支所以，可以建立整数规划的优化模型；通过具体分析该电力公司现有的技术力量和各方面的约束条件，在问题求解中，可以列出一天最大直接收益的整数规划，进而求得最大的直接收益。三名词解释与符号说明I. 名词解释权重：是指针对某一指标而言，指该指标在整体评价中的相对重要程度。启发式算法：是指一个基于直观或经验构造的算法，在可接受的花费（指计算时间和空间）下给出待解决组合优化问题每一个实例的一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度不一定事先可以预计。整数规划：是指一类要求问题的解中的全部或一部分

8、变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。约束条件：是指运用单纯形法解某些线性规划问题时，该问题已知的并必须遵守的前提条件。灵敏度分析：是指研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。II.符号说明.取1、2、3、4，分别表示高级工程师、工程师、助理工程师、技术员。.取1、2、3、4，分别表示项目项目A、项目B、项目C、项目D。.表示项目需要职称人员的人员数。 .表示项目所需职称人员的人员数的最小值。.表示项目所需职称人员的人员数的最大值。.表示每天项目所需的最多工作人数总和。.表示该电力公司现有职称的人员数。.表示

9、第类型人被调派到第项目工作的收费标准。.表示该公司每天的直接收益。.表示该公司每天固定部分的直接收益。.表示该公司每天调派部分的直接收益。表示该公司承包四个项目每天的总的收益。.表示C、D两个项目专业技术人员的每天管理开支的总费用。表示该公司每天所发给41个专业技术人员的工资总额。.表示第职称的专业技术人员做第项目给公司净收益。表示该公司给第类专业技术人员每天所发的工资。注：其它符号在文中用处说明 四模型的假设1 假设在C、D两个项目工作的工人所开支的管理费由该电力公司承担。2 假设这四个项目每天都在开工，不存在停工的情况。3 假设该公司每天都必须给41个专业技术人员发工资，无论他们是否被指派

10、去完成各项目。4 假设客户除了支付合同上的收费外，在工作期间里，还要支付除在办公室的管理费以外所有其它相关的花费（如餐费，车费等）。5 假设不同技术力量的人每天被安排工作的几率是相等的，且相同职称的个人去什么地方工作是听从公司安排的。6 假设当天工作当天完成。五模型的建立模型II、模型的准备为了做到心中有数，首先我们对本问题进行粗略的估算，（1） 对出动人数的估计一方面，从表1和表2中的数据可以看出，所有专业技术人员无论调派到哪个项目，他们的收费标准都大于该公司给他们所发的日工资，另一方面，四个项目所需要的总人数为55，大于该公司的现有专业技术人数41，所以，为了使该公司每天的直接收益最大，我

11、们得出的结论是：要求该公司出动所有的专业技术人员，即调派41个专业技术人员全部去做这四个项目。（2）对调派方案估计由于这四个项目对该公司的人员结构有要求，设表示为第类人调派去做第个项目时，给公司带来的净收益，表示公司给专业技术人员的日工资，表示第类人员做第项目的收费标准，则 由此，我们得出的值如下表：表4：75012501000700600600650550430530480480390490240340下面采用按的最大元素法对人员进行调派，由于，因此，高级工程应尽量调派到项目，同理，工程师应尽量调派到项目；助理工程师应尽量调派到项目，而技术人员只有5个，恰好是四个项目的最低要求，因而不存在这

12、样的问题。这样可以得到以下的调派人数表，表5：ABCD分配情况高级工程师1最多5人21分配完工程师最多为6助理工程师2最多5人21分配完技术员1310分配完总计101611现在只剩下工程师没有分配完，由于，所以工程师在先满足的条件下，再尽量满足，由于此时最多只能分配名，最多能分配名，这样41名专业技术人员分配完毕。（3）对该公司每天直接收益估计假若该公司是按上面的方案进行调派的，我们认为该公司每天的直接收益是最大的，通过计算，得出最大的直接收益为：，由于上面的调派方案可能不是最优的，所以最优的直接最大收益，应该满足。II.模型的建立通过对问题仔细的分析,可用整数规划模型来描述:设为人员类型，其

13、中1表示高级工程师，2表示工程师，3表示助理工程师，4表示技术员； 为项目类型，其中1表示项目，2表示项目，3表示项目，4表示项目；表示第项目需要第类职称的人员数，表示第类人员做第项目的收费标准。表示该公司每天所发给41个专业技术人员的工资总额，表示该公司承包四个项目每天所得的收入，表示C、D两个项目的专业技术人员每天的开支管理费，则该公司每天的直接收益 题意知：元要使该公司每天的直接收益最大，我们建立整数规划模型，具体过程如下：目标函数为： 约束条件为： 由于要满足该公司的人员结构要求，即有： （该公司供分配的高级工程师不超过9人） （该公司供分配的工程师不超过17人） （该公司供分配的助理

14、工程师不超过10人） （该公司供分配的技术人员不超过5人）项目对专业技术人员结构的要求，即有： （项目对高级工程师的要求） （项目对工程师的要求） （项目对助理工程师的要求） （项目对技术员的要求） （项目对总人数的限制）项目对专业技术人员结构的要求，即有： （项目对高级工程师的要求） （项目对工程师的要求） （项目对助理工程师的要求） （项目对技术员的要求） （项目对总人数的限制） 项目对专业技术人员结构的要求，即有： （项目对高级工程师的要求） （项目对工程师的要求） （项目对助理工程师的要求） （项目对技术人员的要求） （项目对总人数的限制） 项目对专业技术人员结构的要求，即有： （项目

15、对高级工程师的要求） （项目对工程师的要求） （项目对助理工程师的要求） （项目对技术人员的要求） （项目对总人数的限制）该公司分配给各个项目的专业技术人员要必须是正整数，即有： 模型II由题意知表示该电力公司一天最大的直接收益，表示一天职称的人员地工作的人数。考虑各方面的条件，列出如下的整数规划模型： 约束条件：(1) 该电力公司现有技术人员总人数的约束：(2) 不同项目所需人员总数的约束：(3) 现有各技术人员数约束： (4) 不同项目对不同技术人员的人数约束：(5) 整数约束： 六模型的求解模型I运用启发式算法：首先将问题做如下简化： 对公司的收入和支出的简化：公司每天的直接收益为收入减

16、去发给员工的工 资和管理费用，即，在计算过程中，公司的直接收益可以简化为每个专业技术人员在不同的四个项目中对公司带来的收益，可以看作各种人员在不同项目的利润标准，即每个人员在不同项目中每天可以获得的利润。表6给出不同项目和各种人员的利润标准（单位 元/天）：表6：高级工程师工程师助理工程师技术员A750600430390B1250600530490C1000650480240D700550480340 2) 各项目对专业技术人员结构的要求以及人员结构的简化：在各项目中，客户对不同的技术人员结构都有个最低要求，其对应的成本是固定的，在调派过程中除去固定部分后的最大利润对应着总的最大利润。表（7）

17、给出固定部分的最低人员配置要求和剩余技术人员结构图：表7：ABCD剩余人员高级工程师12213工程师22229助理工程师22213技术员13100其对应的每天固定部分直接收益 表（8）给出调派部分不同项目对技术人员分配要求和剩余人员结构图：表8：ABCD剩余人员高级工程师0-20-300-13工程师0-69助理工程师3技术员00000需求47414可以看出变量由16个减少为11个，对这11个变量给出模型。下面根据图表（4）和图表（6）的数据，运用启发式算法进行求解：首先对最高层高级工程师进行分配，其中B的权值最大，所以先将3个高级工程师尽可能安排在B处，此时B的剩余需求为4个人，最高层安排完毕

18、。然后考虑次高层工程师，其中C的权值最大，则先将工程师尽可能安排在C处，此时C处人员需求已满，工程师还有5个剩余，考虑次大权值为A和B，由于两个权值相等，我们为满足需求条件，先对第三层助理工程师考虑。助理工程师在B中的权值最大，尽可能向B处安排助理工程师，这样助理工程师安排完毕。此时B处剩余需求为1人，安排工程师1名在B处，剩余的4名工程师刚好满足A，最优安排完毕。表9给出调度部分的人员安排图表表9：ABCD高级工程师750(0)1250(3)1000(0)700(0)工程师600(4)600(1)650(4)550(0)助理工程师430(0)530(3)480(0)480(0)技术员390(

19、0)490(0)240(0)340(0)算出调派部分的最大利润则总的最大收益（元/天）表10给出调派部分和固定部分的人员总的安排：表10：ABCD高级工程师750（1）1250（5）1000（2）700（1）工程师600（6）600（3）650（6）550（2）助理工程师430（2）530（5）480（2）480（1）技术员390（1）490（3）240（1）340（0）模型II相关数据表格如下：表11给出了该电力公司的职称结构及工资情况：表11：高级工程师工程师助理工程师技术员人 数工资/日（元）925017200101705110表12给出了不同项目和各种人员的报酬标准：表12：高级工程师

20、工程师助理工程师技术员收费（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500表13给出了各项目对专业技术人员结构的要求：表13：ABCD高级工程师工程师助理工程师技术员总计1322110252231622211112281-18对模型II进行求解：求得该模型的最优解是：表14给出了相应分配在各项目的人员情况：表14：地点 职 称ABCD高级工程师1521工程师6362助理工程师2521技术员1310则该公司一天直接收益的最大值是： 七模型的检验通过对模型I和模型II进行求解，得出的结果完全相同的，由此说明我们所建立的模型是

21、最优的。下面我们采用灵敏度分析对模型进行检验，参考运行的结果得出下表15：表15：变量X11X12X13X14X21X22X23X24调派人数 1 5 2 1 6 3 6 2灵敏度-750-1250-1000-700-600-600-650-550变量X31X32X33X34X41X42X43X44调派人数 2 5 2 1 1 3 1 0灵敏度-430-530-480-480-390-490-240-340 将变量按其灵敏度的（大小取绝对值）由大到小的顺序进行排列，结果如下:通过对表9与表3进行比较，我们发现调派的人数完全符合各个项目对专业技术人员结构的要求,同时可以使公司的收益达到最大,通过

22、进一步的检验，发现以上表格的调派方案不但满足专业技人员结构要求，而且是完全符合灵敏度由大到小的安排顺序，由此说明我们所建立的模型是合理的，是符合实际的。八模型的改进和推广下面我们对模型进行优化分析, 如表16所示: 表16：ABCD高级工程师750（1）1250（5）1000（2）700（1）工程师600（6）600（3）650（6）550（2）助理工程师430（2）530（5）480（2）480（1）技术员390（1）490（3）240（1）340（0）人数总计1016114由上表给出的调派的人力资源表的数据可以看出，该公司调派了所有专业技术人员，使得公司在现有的人员结构基础上收益达到了最大

23、，但是该公司调派的总人数并没有达到这四个项目的人数上限，从上表可以看出A、B、C三个项目已经达到了人数的上限，而D项目没有达到人数的上限，还差14个专业技术人员，现假设公司可以从市场聘用专业技术人员时，那么，我们通过计算，得出最优聘用方案是：聘用的人数为14人，其中高级工程师为1名，工程师为6名，助理工程师为7名，这样可以使该公司的收益增加（元/天）本文的建模思想可以进一步的推广到资源分配问题。在现实生活中,会遇到很多与本问题相类似的分配问题，例如，将数量一定的一种或若干种资源恰当的分给若干个使用者，从而使目标函数达到最优。具体如下:设有种类型的原料,总数量为,用于生产种产品，表示生产第种产品

24、需要第种类型原料的数量,其收益记为,问如何分配使总的收入最大?此问题就可以写成静态规划问题:当都是线性函数时,它可用本模型所用的软件求解；当是非线性函数时,可以看成一个多阶段决策问题,采用动态规划的递推关系来求解，或者用软件求解。 此两个模型通过对人力资源的调配，从量化的角度得出该电力公司的最大直接收益。利用此模型的方法可以求出所有类似本模型的线性规划模型。但是，本模型只是单目标的规划，可以在此基础上，增加目标要求。如在该电力公司的直接收益尽可能大的基础上，使得客户所花费的资金最少，等等。从而建立多目标规划模型。解决更为复杂的实际问题。九模型的评价此两个模型通过合理的假设，充分考虑各方面的限制

25、条件，得出的工程技术人员安排和公司的直接收益都是本模型的最优解与最优值，对该电力公司的人力资源安排有一定的指导作用。但从模型假设中，我们可以知道对该电力公司现有的技术人员的安排是随机的，在相同工作时段里，可能会出现部分人所工作的项目不同，而不同的项目工作的难易程度不一样，从而会出现对部分人员的不公平情况。所以可以很容易的看出此二模型的优点与缺点。优点：1模型I中所采用的启发式算法，比较容易理解，而且易于求解，在变量比较少时，是一种有效的方法，而且所求的解往往是最优的。2模型II所采用的是整数规划，可综合考虑各种因素，且可解一般性的问题，对于变量相对较多时，应用计算机求解。缺点：1启发式算法对于变量比较多时，求解过程比较复杂，而且可能不是最优解。2在相同工作时段里，可能会出现部分人所工作的项目不同，而不同的项目工作的难易程度不一样，从而会出现对部分人员的不公平情况。十参考文献1 徐全智 杨晋浩 数学建模 北京：高等教育出版社 2003年 2 袁新生 邵大宏 郁时炼 LINGO和Excel在数学建模中的应用 北京：科学出版社 2006年3 肖华勇 实用数学建模与软件应用 西安：西北工业大学出版社 2008年4 杨启帆 方道元 数学建模 杭州：浙江大学出版社 1999年5 姜启源 数学模型（第三版） 北京：高等教育出版社 2003年18