海淀区高三年级第二学期数学理科期末练习参考答案.doc

1、 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 20105说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BADCABAD第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）91 10 112 ； 1248 13 14；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题满分13分）解：（）设等差数列的公差为d，由， 可得 ， 2分 即， 解得，4分 ， 故所求等差数列的通项公式为.5分（）依题意， ，

2、7分 又， 9分 两式相减得11分 ，12分 .13分16（本小题满分14分）（）证明：连结交于，连结 ， ， 1分， 3分，. 4分（）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，,5分,7分异面直线与所成角的余弦值为.8分（）侧棱, 9分设的法向量为,，并且,，令得，,的一个法向量为.11分,13分由图可知二面角的大小是锐角,二面角大小的余弦值为.14分 17 （本小题满分13分）解：（）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. 1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况. 2分事件A所包含的等可能事件的个数为3， 3分所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为.

3、5分（）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则.6分4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布.可取的值为0，1，2，3，4. .8分， .10分的分布列为:01234.12分的期望为 .13分18.（本小题满分13分）解法一：（）依题意得，所以，.1分 令，得，.2分 ，随x的变化情况入下表：x0+0极小值极大值4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. 5分（） , .6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立，.7分 当时，显然对任意恒成立；.8分 当时，等价于，因为，不等式等价于,.9分 令， 则，在上显然有恒成立，所以函数

4、在单调递增，所以在上的最小值为，.11分由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.13分解法二：（）同解法一（）, .6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立，7分 当时，显然对任意恒成立；8分 当时，令，则函数图象的对称轴为，.9分 若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以;.11分 若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.13分19（本小题满分13分

5、）解：（）由题意，抛物线的方程为：， 2分（）设直线的方程为：.联立，消去，得 ， 3分显然，设，则 4分又，所以 5分由 消去，得 ， 故直线的方程为或 . 6分（）设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得， 8分将其代入抛物线方程，得：，所以，. 9分联立 ，消去，得：. 10分由，得，即， 12分将，代入上式并化简，得，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为. 13分20（本小题满分14分）解：（）由题意可得: ,1分.2分（）, 3分, 4分,5分当时，,;当时，;当时，.综上所述，6分即存在，使得是上的4阶收缩函数. 7分（）,令得或.函数的变化情况如下：令，解得或3. 8分）时，在上单调递增，因此，.因为是上的2阶收缩函数，所以，对恒成立；存在，使得成立. 9分即：对恒成立，由，解得：或，要使对恒成立，需且只需. .10分即：存在，使得成立.由得：或，所以，需且只需.综合可得：. .11分）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：，可得 ，此时，不成立. .13分综合）可得：.注：在）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.数学参考答案第7页，共7页