高等数学下册

1、第九章 曲线积分与曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 一有向曲面 观察以下曲面的侧 假设曲面是光滑的 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向 可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg。

2、第九章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分 1. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 一对面积的曲面积分的概念与性质 前面已经介绍了两类曲线积分,对第一 类曲线积分 其。

3、第九章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用 一格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 复连通区域单连通区域 D D 区域连通性的分类 边界曲线L的正。

4、第九章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分 一问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割化整为零 求和 取极限 近似值 精确值 二对坐标的曲线积分的概念 1.定义 类似地定义 2.存在条件 : 3.组合形式 4.推。

5、第九章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 一问题的提出 实例1:密度为 的 曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 实例2:柱面的面积 分割 求和 取极限 近似值 精确值 二对弧长的曲线积分的概念 1。

6、第八章 重积分 第四节 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和,并且在 闭区域D内任取一个直径很小。

7、第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算 问题的提出: 设空间立体 V 的密度函数为 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量,仍采用:分割近似代替 求和取极限四个步骤. 首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . 。

8、第七章 多元函数微分学 第八节 多元函数的极值 二元函数极值的定义 一多元函数的极值 1 2 3 例1 函数 处有极小值在 例函数 处有极大值在处有极大值在 例 处无极值 在 函数 回忆:一元函数极值的必要条件 费马定理 定义 多元函数取得。

9、第七章 多元函数微分学 第七节 偏导数的几何应用 1. 设空间曲线的方程 1式中的三个函数均可导. 一空间曲线的切线与法平面 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 曲线在M处的切线方程 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量. 。

10、第七章 多元函数微分学 第六节 方向导数与梯度 讨论函数 在一点P0沿某一方 向的变化率问题 一方向导数 如图 P0 P 证 解 推广可得三元函数方向导数的定义 二梯度的概念 结论 类似于二元函数,此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方向。

11、第七章 多元函数微分学 第五节 隐函数求导法 一一个方程的情形 隐函数的求导公式 解令 则 解1 利用公式 令 则 两边对 x 求偏导 解2 将方程两边关于x求导,并注意z是x,y的函数, 再对 x 求导 思路 : 解1用公式法 于是, 整。

12、第七章 多元函数微分学 第四节 多元复合函数的求导法则 一多元复合函数求导的链式法则 定理 链式法则如图示 证 解 例2 解 若 z f u , v, w 有连续偏导数, 链式法则可推广到有多个中间变量的情况. 例如有三个中间变量的情况 多。

13、第七章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用 一全微分的定义 全微分的定义 对照一元函数的微分, y f x , 若y Ax 0x 则dy Ax f x0 x . 自然会提出以下问题. 1若z f x, y在点x0, y0可微, 微分式 。

14、第七章 多元函数微分学 第二节 偏导数 一偏导数的定义及其计算法 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 1.由偏导数定义知, 所谓 f x, y 对x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f x, y 看作一元 函数来定义的。

15、第七章 多元函数微分学 第一节 多元函数 理学院数学系 主讲教师:付一平 一平面点集 第一节 多元函数 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为 平面点集记作 Ex y x y具有性质P 例如 平面上以原点为中心r为半径的圆内所 有点的集合。

16、四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 给给出了 利用积积分区域的对对称性 和被积积函数的奇偶性 计计算各种积积分的命题题 并给给出了详细证详细证 明 1 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 利用积积分区间间的对对称性 。

17、习 题 课 基本内容 典型例题 第七章 多元函数微分学 教学要求 1 第七章 多元函数微分学 习题课 一基本内容 1. 多元函数的概念 2. 多元函数的极限 一元函数在某点的极限存在的充要 和一元函数极限的差异: 必需是点P在定义域内以任何。

18、第七章 多元函数微分学一 典型例题 主要内容 堂上练习题 小结 1 一主要内容 定义2 点函数设D是n维空间中的一个点集, 如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则 有确定的数u与之对应, 则称对应法则 是定义在D上的函数. 记为 点集D称。

19、第七章 多元函数微分学二 典型例题 主要内容 堂上练习题 小结 1 一主要内容 第4节 多元复合函数的求导法则 一复合函数的求导法则链导法则 则复合函数 偏导数存在, 且可用下列公式计算 具有连续偏导数, 定理: 2 注意: 1. 式中两边。

20、1 音乐 2 前几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元 函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素, 反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情 形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题 .本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的。