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四川大学数学学院徐小湛April2011给给出了利用积积分区域的对对称性和被积积函数的奇偶性计计算各种积积分的命题题并给给出了详细证详细证明1四川大学数学学院徐小湛April2011利用积积分区间间的对对称性和被积积函数的奇偶性计计算定积积分2四川大学数学学院徐小湛April2011命题1证3四川大[ Tag ]
第九章 曲线积分与曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 一、有向曲面 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向 可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg的 方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧 ， x y z O 在曲面的上侧cosg 0， 在曲面的下侧cosg
第九章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分 1. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 一、对面积的曲面积分的概念与性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一 类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问 题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和 式 抽象概括得到对面积
第九章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 复连通区域单连通区域 D D 区域连通性的分类 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 格林公式 定理1 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d
第九章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分 一、问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割（化整为零） 求和 取极限 近似值 精确值 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 类似地定义 2.存在条件 ： 3.组合形式 4.推广 5.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、对坐标的曲线积分的计算 定理 3.下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 在公
第九章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 一、问题的提出 实例1:密度为 的 曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 实例2:柱面的面积 分割 求和 取极限 近似值 精确值 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 柱面的面积 2.存在条件 ： 3.推广 注意： 4.性质 5.几何与物理意义 三、对弧长曲线积
第八章 重积分 第四节 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性( 即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在 闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算 问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、 求和、取极限四个步骤. 首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 一、三重积分的概念 f ( x, y, z )， 其次在每个小块 Vi 上任取一点 则 Vi 的质量 然后对每个小块 V
第七章 多元函数微分学 第八节 多元函数的极值 二元函数极值的定义 一、多元函数的极值 (1 ) (2 ) (3 ) 例1 函数 处有极小值在 例函数 处有极大值在处有极大值在 例 处无极值 在 函数 回忆：一元函数极值的必要条件 费马定理 定义 多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点极值点 问题：如何判定一个驻点是
第七章 多元函数微分学 第七节 偏导数的几何应用 1. 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 2. 空间曲线方程为 法平面方程为 例2 3.空间曲线方程为 也可直接用求导公式： 切线方
第七章 多元函数微分学 第六节 方向导数与梯度 讨论函数 在一点P0沿某一方 向的变化率问题 一、方向导数 （如图） P0 P 证 解 推广可得三元函数方向导数的定义 二、梯度的概念 结论 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、
第七章 多元函数微分学 第五节 隐函数求导法 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 解令 则 解1 利用公式 令 则 两边对 x 求偏导 解2 将方程两边关于x求导，并注意z是x,y的函数， 再对 x 求导 思路 ： 解1用公式法 于是， 整理得 解2 整理得 整理得 二、方程组的情形 设方程组 确定函数 下面推导公式： 即 上述方程组等式两边对x求导， 现 这是关于的 二元线性方程组。 方程组
第七章 多元函数微分学 第四节 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 定理 链式法则如图示 证 解 例2 解 若 z = f ( u , v, w )有连续偏导数， 链式法则可推广到有多个中间变量的情况. 例如有三个中间变量的情况 多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可 能把所有的公式都写出来，也没有必
第七章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用 一、全微分的定义 全微分的定义 对照一元函数的微分, y = f (x ), 若y = Ax +0(x) 则dy = Ax = f (x0) x . 自然会提出以下问题. (1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = Ax +By中系数 A, B 如何求, 是否与z的偏导有 关? (2)在一元函
第七章 多元函数微分学 第二节 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元 函数来定义的. 注 因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.
第七章 多元函数微分学 第一节 多元函数 理学院数学系 主讲教师：付一平 一、平面点集 第一节 多元函数 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为 平面点集记作 E(x y)| (x y)具有性质P 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所 有点的集合是 C(x y)| x2y2lt;r2 或CP| |OP|r 其中P表示坐标为(x y
四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 给给出了 利用积积分区域的对对称性 和被积积函数的奇偶性 计计算各种积积分的命题题 并给给出了详细证详细证 明 1 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 利用积积分区间间的对对称性 和被积积函数的奇偶性 计计算定积积分 2 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 命题 1 证 3 四川大学数学学院 徐小湛 April 2011 若
习 题 课 基本内容 典型例题 第七章 多元函数微分学 教学要求 1 第七章 多元函数微分学 习题课 一、基本内容 1. 多元函数的概念 2. 多元函数的极限 一元函数在某点的极限存在的充要 和一元函数极限的差异： 必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋 而多元函数 于P0时, 多元函数的基本概念 条件是左右极限都存在且相等; 都有极限, 且相等. 2 第七章 多元函数微
第七章 多元函数微分学(一 ) 典型例题 主要内容 堂上练习题 小结 1 一、主要内容 定义2 (点函数)设D是n维空间中的一个点集, 如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则 有确定的数u与之对应, 则称对应法则 是定义在D上的函数. 记为 点集D称为这个函数的定义域. 第1节 多元函数 一. 定义 2 二. 多元函数定义域 定义域为符合实际意义的 自变量取值的全体. 实际问题中的函数: 自变量
第七章 多元函数微分学(二 ) 典型例题 主要内容 堂上练习题 小结 1 一、主要内容 第4节 多元复合函数的求导法则 一、复合函数的求导法则(链导法则) 则复合函数 偏导数存在, 且可用下列公式计算 具有连续偏导数, 定理: 2 注意: 1. (*)式中两边z的含义不同 , 左边的z表示已经复合的函数, 右边的z表示还没有复合的函数, 2. (*)式两边都在点取值 . 3 项数 问: 每一项 中
1 音乐 2 前几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元 函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素, 反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情 形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题 .本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的 微分法及其应用.主要讨论二元的情况. 3 一、平面点集 n 维空间 平面上具有某种性质质P的点的集合,称为为平面 点集,记记作 例如,平面上以原点为为
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