高中数学复习：数列和不等问题(含答案).doc

用放缩法处理数列和不等问题一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证解（1）由已知得，时，，作差得，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练106全国1卷理科22题设数列的前项的和,，（）求首项与通项；（）设，，证明.解 由 Snan2n1, n1,2,3， , 得 a1S1 a14 所以a12 再由有 Sn1an12n, n2,3，4,将和相减得 anSnSn1 anan12n12n,n2,3, 整理得 an2n4an12n1,n2,3, , 因而数列 an2n是首项为a124,公比为4的等比数列,即 an2n44n1 4n, n1,2,3, , 因而an4n2n, n1,2,3, ,将an4n2n代入得 Sn 4n2n2n1 2n112n12 2n112n1 Tn 所以, 二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和例2等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列设，数列前项的和为，证明解，，，公比 （利用等比数列前n项和的模拟公式猜想） 真题演练206福建卷理科22题已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明数列是等差数列；（）证明.（I）解是以为首项，2为公比的等比数列 即（II）证法一，得即，得即是等差数列 （III）证明2放缩后为“差比”数列，再求和例3已知数列满足，求证证明因为，所以与同号，又因为，所以，即，即所以数列为递增数列，所以，即，累加得令，所以，两式相减得，所以，所以，故得3放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为,且.1 求证；2 求证解（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 所以， ， 所以（2）因为，所以，所以；练习1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，. 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解 （利用函数值域夹逼性）；（II）；（），2.（04全国）已知数列的前项和满足， （1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明对任意的整数，有分析由递推公式易求a11,a20,a32；由已知得（n1）化简得,故数列是以为首项, 公比为的等比数列.故 数列的通项公式为.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.（07武汉市模拟）定义数列如下求证（1）对于恒有成立； （2）当，有成立； （3）分析（1）用数学归纳法易证。 （2）由得 以上各式两边分别相乘得 ，又 （3）要证不等式，可先设法求和，再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证真题演练106全国1卷理科22题设数列的前项的和,，（）求首项与通项；（）设，，证明.二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和例2等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列设，数列前项的和为，证明真题演练206福建卷理科22题已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明数列是等差数列；（）证明.2放缩后为“差比”数列，再求和例3已知数列满足，求证3放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为,且.1 求证；2 求证练习1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，. 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.2.（04全国）已知数列的前项和满足， （1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明对任意的整数，有3.（07武汉市模拟）定义数列如下求证（1）对于恒有成立； （2）当，有成立； （3）10