弹性力学基础课后习题解答.doc

习题解答第二章2.1计算1，2，3。 解1;2;3。2.2证明若，则。证。2.3设、和是三个矢量，试证明证。2.4设、、和是四个矢量，证明证 。2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。 解，，， ，，， ，，。 ， ，。2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、、和。解变换系数同上题。，，，。2.7设有个数，对任意阶张量，定义 若为阶张量，试证明是阶张量。证为书写简单起见，取，，则，在新坐标系中，有 a因为和是张量，所以有比较上式和式a，得由于是任意张量，故上式成立的充要条件是即是张量。2.8设为二阶张量，试证明。 证。2.9设为矢量，为二阶张量，试证明 1，2 证1 。 2 2.10已知张量具有矩阵 求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。 解的对称部分具有矩阵 ， 的反对称部分具有矩阵 。 和反对称部分对应的轴向矢量为 。2.11已知二阶张量的矩阵为求的特征值和特征矢量。解由上式解得三个特征值为，，。将求出的特征值代入书中的式2.44,并利用式2.45，可以求出三个特征矢量为，，。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量，其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。解因为，所以是的特征矢量， 是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量，则有所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令 ，，则有 ，上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成所以，三个特征值是1、0和1，对应的特征矢量是、和。2.13设和是矢量，证明12证1 这一等式的证明过程和书中证明式2.14的过程相同，在此略。 2 2.14设，求及其轴向矢量。 解 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 。2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明1若原点在的外面，积分；2若原点在的内部，积分。证1当时，有 b因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得。2因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式b成立，所以 即 在上，，，于是 。2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分. 解用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得 。第三章3.1设是矢径、是位移，。求，并证明当时，是一个可逆 的二阶张量。 解 的行列式就是书中的式3.2，当时，这一行列式大于零，所以可逆。3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。 解，，， 3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明 1变形前的直线在变形后仍为直线； 2变形前的平面在变形后仍然是一个平面； 3变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证1方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成 1 其中是可变的参数。变形后的矢径为 2 用点积式1的两边，并利用式2,得 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。 2因为，所以可逆。记，则 3 变形前任意一个平面的方程可以表示成 4 其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。将式3代入式4，得 5 上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。 3变形前两个平行的平面可以表示成 ， 变形后变成 ， 仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案能；能。3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。 解和方向的正应变分别为 ， 用和代替式3.11中的和，经整理，得的减小量为 又，所以 。3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量。 解变形后，和变成 ， 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 a 注意到 所以，从式a可得 利用习题2.4中的等式，上式也可写成 3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。 解，，， ，，， ，，。 ， ， ， ，，3.8在平面上，、、和轴正方向之间的夹角分别为、、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。 解在平面中，和方向成角的方向，其方向余弦为 ，， 这一方向的相对伸长度为 a 利用上式，可得 ，， 解之，得 ，， 将求出的、和代回式a，得 3.9试说明下列应变分量是否可能发生 ，，， ，， 其中和为常数。 解如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协调方程3.34c，可以发现，必须有。所以当和不为零时，上述应变分量是不可能发生的。3.10确定常数，，，，，，之间的关系，使下列应变分量满足协调方程 ， ， ， 。 解将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下 ，。 其它三个常数、、可以是任意的。3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。 解由于应变张量和空间位置无关，所以书中的式3.36a简化成 其中是任意的刚体平移，是任意的角位移矢量。3.12设，，，，其中，，是常量，求位移的一般表达式。 解所给的应变张量是， 很容易验证，且有 所以从式3.36a,得 第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为 ，，，，， 试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。 解应力矢量的三个分量为 ，， 总应力。 正应力。 剪应力。4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。 证利用应力张量的对称性，可得。证毕。4.3某点的应力张量为 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。 解设要求的单位法向矢量为，则按题意有 即 ，， a 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 上式有两个解或。若，则代入式a中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式a，利用，可求得 。4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 ， 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。 解将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。 在的边界上，有边界条件 ， 所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得 1 在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成 ，，， 2斜面上的外法向方向余弦为 ，， 3 将式2和3代入边界条件，得 4 联立求解1和4，得 ，，4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ，，， ， 和分别是坝身和水的比重。求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。 解在的边界上，有边界条件 ， 将题中的应力分量代入上面两式，可解得，。 在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为 ，， 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得，。4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。 解物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 或 按题意，边界条件为 因此 即 上式的指标形式为 。4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。 解球面的外法向单位矢量为 或 当时，有边界条件 即 或 。 当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为 即 或 。4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。1证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；2写出物体表面上的面力表达式。 解1应力场必须满足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 2表面上的面力为 或 。4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。 解应力张量的三个不变量为，，。 特征方程是 上式的三个根即三个主应力为和 4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为 ，， 求八面体各个面上的正应力和剪应力。 解， ，， 。4.11某点的应力分量为，，求 1过此点法向为的面上的正应力和剪应力； 2主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解1， 。 正应力为。 剪应力为。 由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。 2用表示主应力，则 所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。 解 所以 。5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。 解取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有 ，， 由胡克定律得 所以盒内侧面的压力为 体积应变为 最大剪应力为 。5.3证明对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质试举例说明。 解对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则 1 各向同性的胡克定律是 将上式代入式1，得，即 由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。 下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于平面对称。因为，所以从式5.14得 若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即 上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解由式5.17可得主应力和主应变之间的关系 1 从上式得 2 （3） 4式2、3、4就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量表示应变不变量的关系。第六章6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的 解因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。6.2设 其中、、、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。 解 同理。 由上面两式及和是调和函数可得 1 因、、、为调和函数，所以 2 将式1、2代入无体力的Lam-Navier方程，得 上式成立的条件是 即 。6.3已知弹性体的应力场为 ，，，，。1 求此弹性力学问题的体力场；2 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。解1将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为。2所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。6.4证明下述Betti互易公式，其中、、和、、分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。证利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得。 证毕。6.5如果体积力为零，试验证下述Papkovich-Neuber位移满足平衡方程其中，。证无体力的Lam-Navier方程为又，所以Lam-Navier方程可以写成将所给的位移代入上式的左边，并利用，可得因为和是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为轴，弯矩所在的主平面为平面。试证下述位移分量是该问题的解 。 提示在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为 ，， 其中是杆的横截面。 证容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lam-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力 ，其它应力分量为零。 a 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为 ，，， 式a表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。 解显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量 ，， 满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为 利用题3.11的结果，可求得位移为 6.8弹性半空间，比重为，边界上作用有均布压力，设在处，求位移和应力。 解由问题的对称性，可以假设 ， 把上述位移分量代入Lam-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成 解之得 其中的、是待定常数。由已知条件得 所以 应力分量为 ，，。 在边界上的边界条件为，，。前两个条件自动满足，最后一个成为 即 所以最后得 ，； ，，。6.9设一等截面杆受轴向拉力作用，杆的横截面积为，求应力分量和位移分量。设轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，，且 。 答案，； ，，。6.10当体力为零时，应力分量为 ，， ，， ， 式中，。试检查它们是否可能发生。解所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生。6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为，偏心距为，杆的横截面积为，求应力分量。 解根据杆的受力特点，假设 ， 其中、是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。按圣维南原理，杆端的边界条件可以放松为 ，，， 前面两个条件自动满足，将应力分量代入后两个条件，可求得 ，，其中。 所以，得最后的应力分量为，。6.12长方形板，厚度为，两对边分别受均布的弯矩和作用，如图6.8所示。验证应力分量 ，， 是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。 解所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调Beltrami-Michell方程，也满足板面上无面力的边界条件。板边上的边界条件可以放松为 ，，， 容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边、、上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。第七章7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数应满足的方程表示协调条件 解在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方程都是 若把用应力函数表示的应力，即、代入上式，就可以得到 所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。7.3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上包括孔口边界上受有均匀压力，求板中的应力分量。 答案，。7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷作用，求应力分量。提示假定和无关。 解假定和无关，即，于是有 积分两次，得 1 其中和是的待定函数。将应力函数代入双调和方程，得 上式对任意成立的充要条件是 ，， 2 解上面的前两式，得 ， 中略去了不影响应力的常数项。由式2中的第三个方程，得 所以，有 在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数、和代入式1，得 应力分量为 本问题的边界条件是 ， 3 ， 4 5 , 6 由条件5可求得 ，， 由条件3和4可以求得 ，，， 将求得的常数代入应力分量表达式，得 7 由条件6中的第一个条件可以求得，由6中的第二个条件可以求得 最后的应力分量为 其中，是截面的惯性矩。7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为，重力加速度为，，求应力分量。提示假定和无关。 解假设 即 经过和上题类似的运算，可以得到和上题相同的应力函数 应力分量为 由对称性可知，，所以，由此得 ，， 在梁的任意截面上，方向的合力为零，即 故有 ， 利用上面求得的结果，应力分量的表达式简化为 在梁的端部有条件 在梁的上下表面上有条件 ， 将应力分量表达式代入上述条件，可以求得 ，，， 最后的应力分量为 ，。7.6设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力，见图7.7，求应力分量。提示假设或。 解设，积分得 把上式代入双调和方程，得 因而有 ， 所以 ， 在和的表达式中略去了不影响应力分量的项。应力函数为 应力分量为 边界条件是 ，， ， 把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得 ，，，， 最后的应力分量为 ，，。7.7图7.8表示一挡水墙，墙体的密度为，，水的密度为，，求应力分量。提示设。 解设，积分两次，得 将上式代入双调和方程，得 上式成立的充要条件是 ，， 解上述三个方程，得 在上面的三个函数中，已略去了不影响应力分量的项。应力函数为 应力分量为 边界条件为 ，，， ， 把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得 ，，，，，，，， 应力分量为 7.8图7.9所示的三角形悬壁梁只受重力作用，梁的密度为，求应力分量。提示设该问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。 解应力与外载荷即体力成比例，所以任意一个应力分量都可以表示成如下形式 应力的量纲是力长度2，的量纲是力长度3，和的量纲是长度，是无量纲的，所以若是多项式，则必是一个和的齐一次表达式。应力函数应是比高两次的多项式，故有 应力分量的表达式为 在的边界上，有 ， 由上面两式得 在斜面上，有 ，，， 斜面上的边界条件为 由此得 ， 故 ，。 把求出的常数代回应力分量的表达式，得 ， ， 。第八章8.1对平面应变问题，试证明极坐标形式的应变协调方程为 证在极坐标系中，有所以协调方程是即或。证毕。8.3在内半径为、外半径为的圆筒外面套以内半径为的刚性圆筒，内筒的内壁受压力作用，如图8.17所示，求应力分量和位移分量。注按平面应力问题求解。 解这是一个整环的轴对称问题，应力分量可以表示成如下形式 ，， 若不计刚体位移，则位移分量的表达式为 ， 边界条件为 将和的表达式代入上面两个条件，可以求得 ， 将求出的常数代入应力和位移的表达式，得 ，， 8.4设有一块内半径为、外半径为的薄圆环板，内壁固定、外壁受均布剪力作用，如图8.18所示，求应力和位移。 解由对称性可知，极坐标系中的应力分量和无关。 平衡方程8.8中的第二式简化成 解之得 由边界条件得 即 所以。 平衡方程8.8中的第一式和应力协调方程简化成 ， 这是齐次方程组，有特解，这一特解满足边界条件。所以应力分量的解是 ，，。 利用胡克定律，得 ，， 由于对称性，位移分量和也和无关，所以几何关系简化成 ，， 上面前两式的解是，第三式的通解是 由边界条件可以确定常数，所以位移分量的解是 ，。 解法二根据对称性，可知、和无关。利用胡克定律和几何关系，可得 ，， 。 把上述表达式代入平衡方程，得 ， 由此解得 ， 利用边界条件可以确定常数、、、。8.5图8.19表示一尖劈，其一侧面受均布压力作用，求应力分量、和。提示用量纲分析法确定应力函数的形式。 解任意一个应力分量都可以表示成，应力和有相同的量纲，所以应是无量纲的。根据应力和应力函数之间的关系可知，应力函数应该是的两次表达式，即 将上式代入双调和方程，得 解出上式的解后，可得应力函数 应力分量为 边界条件为 ，，， 把应力分量的表达式代入上面的四个条件，可以求出常数、、和。 最后的应力分量为 8.6图8.20所示的是受纯剪的薄板。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。 解无孔时板中的应力分量为 ， 在极坐标系中的应力分量为 ，， 假定小圆孔的半径为。由于孔的半径很小，且远离板边，所以孔的存在只会引起孔附近应力场的变化，因此这一问题的边值问题可以写成 根据边界条件和应力与应力函数之间的关系，设应力函数有如下形式 a 将上式代入双调和方程，可以得到 把上式的解代入式a，得 所以有 把上述应力分量的表达式代入边值问题中的边界条件，可以求得 ，，， 将求出的常数代入应力分量的表达式，得 在孔边上，有 ， 因此最大正应力是，最小正应力是。 解法二将直角坐标系转动，得一新的坐标系。无孔时，在新的坐标系中有，，。这一问题可以看成是方向受拉问题和方向受压问题的叠加，所以可以利用书中8.7的结果和叠加原理求解。在孔边上，有 ， 。8.7楔形体在侧面上受有均布剪力，如图8.21所示，求应力分量。提示用量纲分析法确定应力函数的形式，或假定和无关。 解用完全和题8.4中的分析方法相同的方法，可得 边界条件为 ，，， 将应力分量的表达式代入上面的条件，可以求出 ，，， 所以，有 ，，。8.8在弹性半平面的表面上受个法向集中力构成的力系作用，这些力到原点的距离为，如图8.22所示，求应力分量。 解利用8.10中的式8.32和叠加原理，即可得到本题的应力分量 ， ， 第九章9.1设和分别是扭转函数和Prandtl应力函数，试说明方程和所表示的物理意义。 解方程是用扭转函数表示的平衡方程；方程是用应力函数表示的协调方程。9.2求图9.11所示等边三角形截面杆扭转问题的应力分量、最大剪应力和抗扭刚度。提示设应力函数为。 解在图9.11中所取的坐标系中，三角形的三条边的直线方程是 ，， 所以猜测Prandtl应力函数为 上式满足在截面边界上为零的条件。应力函数还应该满足方程，将的表达式代入，可以求得，所以，，最大剪应力出现在截面的边界上。由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相等，所以只要求这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有，因此最大剪应力为。 9.3半径为的圆截面扭杆有半径为的圆弧槽，且，如图9.12所示。求应力分量、最大剪应力以及抗扭刚度。提示两条圆弧的方程是和。设应力函数为。 解两条圆弧的方程是和，所以猜测应力函数为 上式在截面边界上为零。将上式代入方程，可知应取，因此 用表示整个大圆的区域，则和的面积差小于。 应力分量为 在小圆上，有 ，； 1 在大圆上，有 ， 2 由1和2式可知，最大剪应力发生在小圆的处，其绝对值为 。9.4已知截面边界为椭圆 的杆，扭转刚度为，求上述边界与椭圆 所围成的空心截面杆的扭转刚度。解大椭圆所围区域用表示，小椭圆所围区域用，截面用表示，。在中定义函数 1容易验证上式满足方程，也满足条件和常数又即所以式1定义的函数是本问题的应力函数。因为在上，，所以根据已知条件，有 。解法二横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根独立的杆件在一