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转动可分解设计的构造及其应用

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转动可分解设计的构造及其应用

I本科毕业论文题目转动可分解设计的构造及其应用作者XXX专业信息与计算科学指导教师XXX完成日期X日II南通大学毕业设计(论文)立题卡课题名称转动可分解设计的构造及其应用出题人XXX课题表述(简述课题的背景、目的、意义、主要内容、完成课题的条件、成果形式等)可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计在密码理论、统计设计中有广泛的应用.如不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优k-循环的超饱和设计,它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.成果形式论文课题来源科研课题类别毕业论文该课题对学生的要求要求学生有较好的数学和计算机基础教研室意见教研室主任签名______________________年________月________日学院意见同意立题()不同意立题()教学院长签名______________________年________月________日注1、此表一式三份,学院、教研室、学生档案各一份.2、课题来源是指1.科研,2.社会生产实际,3.其他.3、课题类别是指1.毕业论文,2.毕业设计.4、教研室意见在组织专业指导委员会审核后,就该课题的工作量大小,难易程度及是否符合专业培养目标和要求等内容提出具体的意见和建议.5、学院可根据专业特点,可对该表格进行适当的修改.III南通大学毕业设计(论文)任务书题目转动可分解设计的构造及其应用学生姓名XXX学院理学院专业信息与计算科学班级信计X学号XXX起讫日期X日指导教师XXX职称教授发任务书日期2013年1月8日课题的内容和要求(研究内容、研究目标和解决的关键问题)IV研究内容可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计在密码理论、统计设计中有广泛的应用.如不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优k-循环的超饱和设计,它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.目标和要求1查阅资料,阅读文献,理解课题的含义;2研究转动可分解设计的构造方法,了解现有的结论;3转动可分解设计在最优k循环的超饱和设计构造中的应用..课题的研究方法和技术路线1阅读与平衡不完全区组设计BIBD、可分解平衡不完全区组设计RBIBD有关的文献;2正确理解转动可分解设计的构造含义,了解它和组合设计的关系;3构造不同构的转动可分解设计,并且探究其在超饱和设计中的应用;4通过使用计算机编程,求出60v的转动可分解设计的结果.基础条件本课题的指导者近年来主要从事组合数学及其应用的研究,主持一项有关组合理论及其应用的国家自然科学基金项目的研究,一项南通市科技创新项目的研究.对组合设计理论的前沿状况比较了解,有多年指导本科生毕业论文的经验,已在国内外核心期刊上发表相关论文30多篇;同时该课题也是国家自然科学基金项目所要研究的部分内容,该生有较好的组合数学基础知识和刻苦钻研精神;学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料,同时指导老师能为学生提供相关的外文资料.综上所述,已基本具备完成本课题研究的基础条件.参考文献V[1]LiuMandZhangetal.ConstructionofEs2optimalsupersaturateddesignsusingcyclicBIBDs[J].J.Statist.PlannInference,2000,91139–150.[2]LuXandHuetal.Asystematicprocedureintheconstructionofmulti-levelsupersaturateddesign[J].J.Statist.PlannInference,2003,115287–310.[3]NgyuenNK.Analgorithmicapproachtoconstructingsupersaturateddesigns[J].Technometrics,1996,3869–73.[4]HananiH.Onresolvablebalancedincompleteblockdesigns[J].J.Combin.TheorySerA,1974,17275-289.[5]PlackettRLandBurmanetal.Thedesignofoptimummultifactorialexperiments.[J].Biometrika,1946,33305–325.[6]HananiH.Balancedincompleteblockdesignsandrelateddesigns[D].DiscreteMath,1975,11255-369.[7]WuXHA.Constructionofoptimalmulti-levelsupersaturateddesigns[J].Ann.Statist.,2005,332811–2836.[8]WilsonRM.Anexistencetheoryforpairwisebalanceddesign[J].J.Combin.TheorySerA,1972,13220-273.[9]WilsonDAR.SolutionofKirkman’sschoolgirlproblem[J].Proc.Sympos.PureMath,1971,19187-203.[10]LuJ.Anexistencetheoryforresolvablebalancedincompleteblockdesigns[J].ActaMath.Sinica,1984,27458-468.[11]ChenJandLiu,etal.Optimalmixed-levelk-circulantsupersaturateddesigns[J].J.Statist.PlannInference,2008,1384151–4157.[12]BakerRD.ResolvableBIBDandSOLS[J].DiscreteMath,1983,4413-29.[13]HananiH,RayChaudhuriDKandWilsonR.Onresolvabledesigns[J].DiscreteMath,1972,3343-357.[14]RayChaudhuriDKandWilsonR.Theexistenceofresolvableblockdesigns[J].ASurveyofCombinatorialTheory,1973,11361-375.[15]FangKTandLin,etal.Optimalmixed-levelsupersaturateddesign[J].Metrika,2003,58279–291.VI本课题必须完成的任务1介绍BIBD、RBIBD的构造方法以及例子;2介绍转动可分解的构造方法以及不同构的转动可分解设计的构造,并且其在超饱和设计中的应用;3给出60v时部分或完全的转动可分解设计的结果.成果形式论文进度计划起讫日期工作内容备注1月10日-2月28日选题、查阅文献资料3月1日-3月5日开题报告3月6日-3月19日根据开题报告情况继续查阅文献资料3月20日-4月20日写出论文第一稿,并完成外文翻译4月21日-5月5日指导老师批阅论文第一稿5月6日-5月19日修改论文,并定稿5月20日-5月31日指导教师评定成绩,评阅老师评阅论文,写出评阅意见.6月1日-6月15日答辩教研室审核意见该任务书的内容符合南通大学本科生毕业设计(论文)要求和本专业的培养目标,同意下发.教研室主任签名年月日学院意见教学院长签名_年___月__日注此表为参考表格,学院可根据专业特点,对该表格进行适当的修改.VII南通大学本科生毕业设计(论文)开题报告学生姓名陈媛学号0902072006专业信息与计算科学课题名称转动可分解设计的构造及其应用阅读文献情况国内文献0篇开题日期2013-03-07国外文献15篇开题地点理学院信息与计算科学教研室一.文献综述与调研报告(阐述课题研究的现状及发展趋势,本课题研究的意义和价值、参考文献)可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计在密码理论、统计设计中有广泛的应用.如不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优k循环的超饱和设计,它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.构建二水平因子的超饱和设计的方法已经在许多著作中被涉及.多水平超饱和设计也已经被一些研究人员研究.Lin和Dean(2004)提出了k循环设计,并且给出了他们对于二水平因子的解释.本文主要介绍转动可分解设计的定义以及构造方法,并通过计算机编程计算60v的RotationalRBIBD;介绍利用RotationalRBIBD构造最优k循环设计,以及其在实际中的应用.定义1[1]设X为一个有限集,Β为X的一个子集族,则称此序对,ΒX是集X上的一个区组设计,Β的元素称为区组.进一步,设v与为给定的正整数,k是给定的正整数,若区组设计,ΒX满足ivX;ii对任意ΒB,都有kA;iiiX中任意一对不同的点都恰好同时包含在个区组中,当2kv时,则称为平衡不完全区组设计,记为BIBDkv,,λ.易知,BIBDkv,,λ的必要条件是.1mod01,1mod01kkvvkv(1)当53k时,平衡不完全区组设计的存在性由Hanani[14]在1975年证明.定理1[2]设λ,,kv都是正整数,如果53k,并且kv,则除去2,5,15不存在外,BIBDkv,,λ存在的必要条件1也是充分的.平衡不完全区组设计的存在性问题是转动可分解设计理论中的一个基本问题,条件1是BIBDkv,,λ存在的基本必要条件,不过这些条件并不是充分的.M.HallJr.1967提出了下面这个著名的存在性猜想.VIII猜想1存在性猜想给定正整数λ,k,对满足条件1的正整数v,除去有限个例外,BIBDkv,,λ都存在.Wilson[3]对上诉存在性猜想给出了证明,有下述“渐进存在性定理”.定理2[3]给定正整数k和,存在常数,00kvv,使得当0vv时,BIBDkv,,λ存在的必要条件1也是充分的.定义2[4]设,ΒX是一区组设计,Βp,若p构成X的一个划分,则称p为此设计的一个平行类.如果区组Β能被划分成平行类,则称此设计为可分解的.如果一个RBIBDkv,,λ是可分解的,则称为可分解平衡不完全区组设计,记为RBIBDkv,,λ.易知,RBIBDkv,,λ存在的必要条件为.1mod01,mod0kvkv(2)3k时,RBIBDkv,,λ的存在性主要依赖于2,1λ的情形.1,3,λk的存在性问题,也是历史上著名的Kirkman女生问题,经过一百多年的研究,于1971年由Ray-Chaudhuri和Wilson[5]解决.而2,3,λk的情形由Hanani[6]于1974年解决.定理3[7]当且仅当下列条件之一成立时,RBIBDv,3,λ存在.1.6mod3v,且2mod1λ;2.3mod0v,且4mod0λ;3.3mod0v,6v,且4mod2λ.4k时,RBIBDv,4,λ的存在性主要依赖于31、λ的情形.1972年,Hanani等解决了1λ时的情形,即RBIBDv1,4,的存在性.Baker解决了k,4,3的情形,即RBIBDv3,4,的存在性.定理4[8]当且仅当下列条件之一成立时,RBIBDv,4,λ存在.1.12mod4v,且1,2mod3λ;2.4mod0v,且0mod3λ;而RBIBDv1,5,的存在性问题在国内外多位学者的共同努力下,已接近完整解决.定理5[9]当20mod5v且v{45,345,465,645}时,存在RBIBDv1,5,.对一般的k,Ray-Chaudhuri和Wilson[10]和Lu证明了RBIBDkv,,λ的“渐近存在性”.IX定理6[10]对给定的正整数k和,除了有限多个正整数v外,RBIBDkv,,λ存在的必要条件2也是充分的.定义3若D(X,B)为BIBDkkv1,,,其中}{1VZX,令11vZiiiiXX,为X的映射,BB,},...,,{21kaaaB;令},,...,,{21kaaaBBBB|{B},若BB,则称为D的一个自同构.此时BIBDkkv1,,称为RotationalBIBD.进一步,B在的作用下,产生轨道,轨道长度为1v.每个轨道中取一个代表,构成D的一个基区组.如果这个基区组构成了X的一个划分,即基区组是D的一个平行类,称此平行类为D的基平行类.此时1,,kkv-RotationalBIBD是可分解的.称其为1,,kkv-RotationalRBIBD.本文提供了一个系统的构造转动可分解设计的方法.二级水平设计同样包含于这个系统方法.这个系统的方法是基于利用满足某些特性的一系列初始区组的循环生成法的可分解的平衡不完全区组设计RBIBDs.有些k循环设计的其他可供选择的方法同样也包含于Luetal.2003[11]中.然而,本文呈现最优K-循环超饱和设计的一个广泛比较方法,其包含在有关计算机的基础方法著作中或者在Luetal.2003中.在实际中,超饱和设计对于因子筛选试验很有帮助.现有的超饱和设计的构造方法主要是针对二级水平和多级水平情形的.但是实际中,混和水平超饱和设计有着更广泛的用途,此不部分可做一项独立研究,在此不做论述.参考文献[1]LiuMandZhangetal.ConstructionofEs2optimalsupersaturateddesignsusingcyclicBIBDs[J].J.Statist.PlannInference,2000,91139–150.[2]LuXandHuetal.Asystematicprocedureintheconstructionofmulti-levelsupersaturateddesign[J].J.Statist.PlannInference,2003,115287–310.[3]NgyuenNK.Analgorithmicapproachtoconstructingsupersaturateddesigns[J].Technometrics,1996,3869–73.[4]HananiH.Onresolvablebalancedincompleteblockdesigns[J].J.Combin.TheorySerA,1974,17275-289.[5]PlackettRLandBurmanetal.Thedesignofoptimummultifactorialexperiments.[J].Biometrika,1946,33305–325.X[6]HananiH.Balancedincompleteblockdesignsandrelateddesigns[D].DiscreteMath,1975,11255-369.[7]WuXHA.Constructionofoptimalmulti-levelsupersaturateddesigns[J].Ann.Statist.,2005,332811–2836.[8]WilsonRM.Anexistencetheoryforpairwisebalanceddesign[J].J.Combin.TheorySer.A,1972,13220-273.[9]WilsonDAR.SolutionofKirkman’sschoolgirlproblem[J].Proc.Sympos.PureMath,1971,19187-203.[10]LuJ.Anexistencetheoryforresolvablebalancedincompleteblockdesigns[J].ActaMath.Sinica,1984,27458-468.[11]ChenJandLiu,etal.Optimalmixed-levelk-circulantsupersaturateddesigns[J].J.Statist.PlannInference,2008,1384151–4157.[12]BakerRD.ResolvableBIBDandSOLS[J].DiscreteMath,1983,4413-29.[13]HananiH,RayChaudhuriDKandWilsonR.Onresolvabledesigns[J].DiscreteMath,1972,3343-357.[14]RayChaudhuriDKandWilsonR.Theexistenceofresolvableblockdesigns[J].ASurveyofCombinatorialTheory,1973,11361-375.[15]FangKTandLin,etal.Optimalmixed-levelsupersaturateddesign[J].Metrika,2003,58279–291.二.本课题的基本内容,预计解决的难题基本内容本课题将研究不同构转动可分解设计的构造及其应用.首先,理解设计、BIBD、RBIBD以及转动可分解设计(RotationalRBIBD)的定义,以及不同构的转动可分解设计的构造方法.可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计密码理论、统计设计中有广泛应用.如了解不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优的K-循环的超饱和设计,它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.其次了解转动可分解的定义.本课题主要研究转动可分解设计(RotationalRBIBD)的构造,并讨论它在超饱和设计的应用,同时利用计算机编程计算60v的转动可分解设计.预计解决的难题对于此类最优超饱和设计未知结论的构造,可能需要较长时间的寻找,对于计算机运算,需要时间的调整.三、课题的研究方法、技术路线研究方法1.查阅文献;2.向学长及老师请教;3.网上搜集资料;4.自我归纳总结.技术路线1阅读与转动可分解设计的构造问题有关的文献;2正确理解转动可分解设计的构造含义,了解它和组合设计的关系;3研究转动可分解设计的构造方法,以及理解通过不同构的转动可分解设计构造最优k循环设计,并且论述其在实际中的具体应用.XI4通过使用计算机程序,求出一类RotationalRBIBD的最优解.四、研究工作条件和基础本课题的指导者近年来主要从事组合数学及其应用的研究,主持一项有关组合理论及其应用的国家自然科学基金项目的研究,一项南通市科技创新项目的研究.对组合设计理论的前沿状况比较了解,有多年指导本科生毕业论文的经验,已在国内外核心期刊上发表相关论文30多篇;同时该课题也是国家自然科学基金项目所要研究的部分内容,该生有较好的组合数学基础知识和刻苦钻研精神;学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料,同时指导老师能为学生提供相关的外文资料.综上所述,已基本具备完成本课题研究的基础条件..五、进度计划起讫日期工作内容1月10日-2月28日选题,查阅文献资料3月1日-3月5日开题报告3月6日-3月19日根据开题报告情况继续查阅文献资料,搜集数据3月20日-4月20日写出论文第一稿,并完成外文翻译.4月21日-5月5日指导老师批阅论文第一稿5月6日-5月19日修改论文,并定稿5月20日-5月31日指导教师评定成绩,评阅老师评阅论文,写出评阅意见.6月1日-6月15日学生进行答辩论文阶段完成日期文献调研完成日期3月10日论文实验完成日期撰写论文完成日期5月18日评议答辩完成日期6月05日XII指导教师评语该生能按任务书计划完成课题研究,研究进展顺利,已经取得了部分研究成果,论文翻译已经完成,下一步的研究计划可行,有望准时完成课题研究,同意开题.导师签名年月日教研室意见教研室主任签名年月日学院意见通过开题()开题不通过()教学院长签名年月日注1、学院可根据专业特点,可对该表格进行适当的修改.XIII题目转动可分解设计的构造及其应用南通大学理学院2013年5月南通大学毕业论文姓名XXX指导教师XXX专业信息与计算科学南通大学毕业论文摘要超饱和设计在许多领域有广泛的应用,如计算机实验、软件测试、医药、工业和工程试验,以及生物识别应用领域.构建二水平因子的超饱和设计的方法已经受到广泛关注.多水平超饱和设计也已经被一些研究人员研究.Lin和Dean(2004)提出了k循环设计,并且给出了二水平因子超饱和设计的构造.本文给出了由差方法得到的RBIBD构建最优1循环设计的生成列的方法.这样的RBIBDs被称为可分解的1转动平衡不完全区组设计.如果在两个可分解1转动BIBD之间存在一个同构映射保持初始区组集不变,则称之为同构的.当1k个不同构的可分解的1转动BIBDs存在,则可以构造k个最优1循环设计其列是非完全别名的.如果一列通过水平置换可以得到另一列,那么这两列完全的别名.此时,可以通过把这k个1循环设计列并列得到最优k循环设计.本文描述了可分解1-转动平衡不完全区组设计的概念,利用差的方法给出了不同构的可分解1-转动平衡不完全区组设计的构造方法.在计算计的辅助下,得到了60v区组大小为4指数为3的不同构的可分解1-转动平衡不完全区组设计对.直接应用获得了一些新的最优2-循环设计12,4/,vvvD其中6016v.关键词平衡不完全区组设计,转动可分解平衡不完全区组设计,最优k-循环设计南通大学毕业论文XVABSTRACTSupersaturateddesignsareimportantinvariousfieldsincludingcomputerexperiments,softwaretesting,medical,industrialandengineeringexperiments,andbiometricapplications.sforconstructingsupersaturateddesignsfortwo-levelfactorshavereceivedconsiderableattention.Multi-levelsupersaturateddesignshavealsobeenstudiedbyseveralauthors.LiuandDean2004introducedk-circulantdesignsandgavetheirconstructionsfortwo-levelfactors.Thispaperpresentsaforconstructingthegeneratingcolumnofanoptimal1-circulantdesignusingaRBIBDobtainedthroughtheofdifferences.SuchRBIBDsarecalledresolvable1-rotationalbalancedincompleteblockdesigns.Tworesolvable1-rotationalBIBDsarecalledisomorphicifthereisanisomorphismbetweenthemthatpreservesthesetofinitialblocks.When1knonisomorphicresolvable1-rotationalBIBDsexist,thenksuchoptimal1-circulantdesignswithnofullyaliasedcolumnscanbeconstructed.Twocolumnsarefullyaliasedifonecolumncanbeobtainedbypermutinglevelsinanothercolumn.Anoptimalk-circulantdesignisthenobtainedbycolumnjuxtapositionofthesek1-circulantdesigns.Thispaperdescribesthedefinitionsofresolvable1-rotationalbalancedincompleteblockdesignsandgivesconstructionsof1-rotationalRBIBDsbytheofdifferences.Withhelpofcomputer,weobtainsomepairsofnonisomorphicresolvable1-rotationalBIBDswithbocksize4andindex3for60v.Asitsapplication,weobtainsomenewoptimal2-circulantdesigns12,4/,vvvDfor6016v.keywordBIBD,RotationalRBIBD,Optimalk-circulantdesign南通大学毕业论文XVI目录摘要...............................................XIVABSTRACT................................................XV第一节引言..............................................1第二节转动可分解设计的构造..............................3第三节转动可分解设计的应用.............................10第四节结束语...........................................16参考文献................................................17致谢................................................18南通大学毕业论文1第一节引言一个区组设计λ,,kvB是一个二序组,ΒX,其中X为一个有限集,Β为X的一个子集族,Β的元素称为区组.进一步,设v与为给定的正整数,k是给定的正整数,若区组设计,ΒX满足ivX;ii对任意ΒB,都有kB;iiiX中任意一对不同的点都恰好同时包含在个区组中,当2kv时,则称为平衡不完全区组设计,记为BIBDkv,,λ.易知,BIBDkv,,λ的必要条件是.1mod01,1mod01kkvvkv(1)当53k时,平衡不完全区组设计的存在性由Hanani[6]在1975年证明.若,ΒX是一区组设计,Βp,若p构成X的一个划分,则称p为此设计的一个平行类.如果区组Β能被划分成平行类,则称此设计为可分解的.如果一个BIBDkv,,λ是可分解的,则称为可分解平衡不完全区组设计,记为RBIBDkv,,λ[12].易知,RBIBDkv,,λ存在的必要条件为.1mod01,mod0kvkv(2)3k时,RBIBDkv,,λ的存在性主要依赖于2,1λ的情形.1,3,λk的存在性问题,也是历史上著名的Kirkman女生问题,经过一百多年的研究,于1971年由Ray-Chaudhuri和Wilson[9]解决.而2,3,λk的情形由Hanani[4]于1974年解决.4k时,RBIBDv,4,λ的存在性主要依赖于3,1λ的情形.1972年,Hanani[13]等解决了1λ时的情形,即RBIBDv1,4,的存在性.Baker解决了3,4,λk的情形,即RBIBDv3,4,的存在性.而RBIBDv1,5,的存在性问题在国内外多位学者的共同努力下,已接近完整解决.对一般的k,Ray-Chaudhuri和Wilson[14]和Lu[10]证明了RBIBDkv,,λ的“渐近存在性”.若,ΒXD为BIBDkkv1,,,其中}{1VZX,令1α1ααvZiiiiXX,南通大学毕业论文2为X的映射,ΒB,},...,,{21kaaaB;令},,...,,{21kaaaB}|{ααΒΒBB,若ΒΒα,则称为D的一个自同构.此时BIBDkkv1,,称为RotationalBIBD.进一步,Β在的作用下,产生轨道,轨道长度为1v.每个轨道中取一个代表,构成D的一个基区组.如果这个基区组构成了X的一个划分,即基区组是D的一个平行类,称此平行类为D的基平行类.此时1,,kkv-RotationalBIBD是可分解的.称其为1,,kkv-RotationalRBIBD.例1.1设}{14ZX,取基区组为,13,5,41B11,10,72B,8,3,13B,6,2,04B,,12,95B,利用上面给出的定义,我们可以得到1B12,4,311,3,210,2,19,1,08,0,137,13,126,12,115,11,104,10,93,9,82,8,71,7,60,6,513,5,42B10,9,69,8,58,7,47,6,36,5,25,4,14,3,03,2,132,1,121,0,110,13,1013,12,912,11,811,10,73B7,2,06,1,135,0,124,13,113,12,102,11,91,10,80,9,713,8,612,7,511,6,410,5,39,4,28,3,14B5,1,134,0,123,13,112,12,101,11,90,10,813,9,712,8,611,7,510,6,49,5,38,4,27,3,16,2,05B,11,8,10,7,9,6,8,5,7,4,6,3,5,2,4,1,3,0,2,13,1,12,0,11,13,10,12,9此时,称2,3,14-BIBD为2,3,14-RotationalRBIBD.本文主要介绍不同构的转动可分解的构造及其应用,不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优的k-循环的超饱和设计,它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.在实际中,超饱和设计对于因子筛选试验很有帮助.现有的超饱和设计的构造方法主要是针对两水平和高水平情形的.但是实际中,混水平超饱和设计有着更广泛的用途.本文对此部分不做研究.南通大学毕业论文3第二节转动可分解设计的构造这一节主要介绍不同构的转动可分解设计的定义及其构造方法,同时利用计算机编程计算出了一些不同构的转动可分解设计的例子.定义2.1设}Β,...,Β,Β{21t为vZ的子集族,若*0λΔΒΔvtiiZΒ,其中},,|{bababa称为的差.tikZZivv,...,1,},0{\*且,则称Β为,,kv差族,记为DF.特别地,当1t时,称其为差集,记为DS.例2.1在7Z中,}0{\}5,2,4,3,6,1{}3,2,1{ΔΒ}},3,1,0{Β{7ZΒ,称Β为DS1,3,7.有了差族的定义,下面我们利用差族的定义来给出RotationalRBIBD的构造方法.构造方法设}},,...,,{{1/1},,...,,{100201021kikiiiaaaBkviaaaBΒ为}{1VZ上的kv/个k元子集族,其中1vijZa,令},,,|{baBbabaB,ΒΒBBΔΔ,若}0{\11VZkΔΒ,ΒBBX,}Ζi|{vΒΒBiBdev,则},{1ΒdevZV为一个Rotationalkkv1,,RBIBD,其中Β为其平行类.证明令1,|VZiBiBdevΒΒ,由}0{\11vZkΔΒ,有,1ΒdevZv为RotationalBIBD.又Β构成,1ΒdevZv的一个平行类.Βdev可以划分为1v个平行类.所以,1ΒdevZv为RotationalRBIBD.因为本节研究的是不同构的转动可分解设计,所以下面我们给出不同构的概念.定义2.2设γ21111...,,pppXDΒΒ,γ212...,,pppXDΒΒ是两个1,,kkvRotationalRBIBD,其中,iippγ,...,2,1i分别是21,DD的平行类.若存在XX的一个双射,并且满足ΒΒβ1和},...,,{},...,,{2121pppppp,则1D与2D是同构的.若不存在这样的β,则1D与2D是不同构的.以下是通过上面的构造方法,同时利用计算机编程计算出了一些不同构的转动可分解设南通大学毕业论文4计的例子.引理2.1存在一对不同构的3,4,16RotationalRBIBD.证明根据上面的构造方法,在}{15Z上构造基平行类,其基区组见下表序号基区组1基区组2初始区组0,1,2,50,2,3,73,8,11,121,4,8,134,6,10,135,9,10,117,9,14,6,12,14,通过验证,满足不同构.所以存在一对不同构的3,4,16RotationalRBIBD.引理2.2存在一对不同构的3,4,20RotationalRBIBD.证明根据上面的构造方法,在}{19Z上构造基平行类.其基区组见下表序号基区组1基区组2初始区组3,4,5,186,10,12,161,2,8,125,9,14,170,7,10,140,2,11,186,9,15,171,3,4,1511,13,16,7,8,13,通过验证,满足不同构.所以存在一对不同构的3,4,20RotationalRBIBD.引理2.3存在一对不同构的3,4,24RotationalRBIBD.证明根据上面的构造方法,在}{23Z上构造基平行类.其基区组见下表序号基区组1基区组2初始区组4,7,11,154,10,15,19南通大学毕业论文50,3,5,172,9,12,212,10,12,190,3,11,161,6,13,161,5,14,228,

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